home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15429 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-23  |  4.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!elroy.jpl.nasa.gov!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!roundup.crhc.uiuc.edu!focus!hougen
  2. From: hougen@focus.csl.uiuc.edu (Darrell Roy Hougen)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Approximation and Estimation (HELP!!)
  5. Date: 23 Nov 1992 21:27:21 GMT
  6. Organization: Center for Reliable and High-Performance Computing, University of Illinois at Urbana-Champaign
  7. Lines: 74
  8. Message-ID: <1eribpINNne1@roundup.crhc.uiuc.edu>
  9. References: <24069@galaxy.ucr.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: focus.csl.uiuc.edu
  11.  
  12. baez@guitar.ucr.edu (john baez) writes:
  13.  
  14. % In article <1ejbebINNber@roundup.crhc.uiuc.edu> hougen@focus.csl.uiuc.edu (Darrell Roy Hougen) writes:
  15. %% I need to estimate a 'hill' function between -pi/2 and pi/2.  It must
  16. %% be 0 at -pi/2 and pi/2 and it must be 1 at 0.  It must increase
  17. %% monotonically from 0 to 1 on [-pi/2,0] and decrease monotonically from
  18. %% 1 to 0 on [0,pi/2].  It must be smooth, ie., differentiable everywhere
  19. %% in (-pi/2,pi/2), and have a derivative of 0 at 0.
  20. %% 
  21. %% My first question is, does there exist a basis for functions of the
  22. %% above form?
  23.  
  24. % Sure, infinitely many.  It's best to say what *kind* of functions  In
  25. % other words, smooth, continuous, or L^2 functions.  But in any of the case
  26. % I just mentioned, there is a countable basis.
  27.     
  28. First, thanks for the information.  Perhaps I wasn't clear, but I
  29. would prefer to have smooth, continuous functions, ie., the first
  30. derivative must exist and be continuous on (-pi/2,pi/2).  Right now I
  31. don't care about the norm too much, as long as it is reasonable.
  32.  
  33. %% One possible basis that I've been thinking about is (cos(x))^k with k
  34. %% ranging from -inf to +inf.  All the members of this set satisfy the
  35. %% conditions given above and it appears that any weighted sum of such
  36. %% functions will also although it would be nice to prove that.
  37.  
  38. % Nope, it's not true, because all the functions you listed are "even"
  39. % (satisfy f(x) = f(-x)), so you can't approximate anything but even 
  40. % functions.    Also for k negative the functions you list are unbounded,
  41. % which is technically a pain in the butt.  
  42.  
  43. Let me simplify things a little by asking for even functions, ie.,
  44. assume that the function to be estimated is even.  Also, I made an
  45. error when I allowed k to be negative.  Instead, I should have defined
  46. my potential basis to be (cos(x))^k for k = 1,2,3,... and
  47. (cos(x))(1/j) for j = 1,2,3,...
  48.  
  49. % The best basis to use is  sin(2kx) and cos(2kx), taken together.  
  50. % This basis is used in the Fourier transform and is well-known to
  51. % be a complete basis.  I recommend this basis because a huge amount
  52. % is known about it and there is a huge amount of software written to
  53. % deal with it.
  54.  
  55. The problem with this basis, a basis of which I am well aware and that
  56. several people have suggested in email, is that the estimate of the
  57. function might be negative in places or have the the wrong slope in
  58. places.  Let me stress that any estimate, g, of the function, f,
  59. **MUST** satisfy the following conditions:
  60.     g(-pi/2) = g(pi/2) = 0
  61.     g(x) > 0  for x in (-pi/2,pi/2)
  62.     g'(x) > 0 for x in (-pi/2,0)
  63.     g'(x) = 0 for x = 0
  64.     g'(x) < 0 for x in (0,pi/2)
  65.  Corresponding to what I said above, it is also exceptable if g(x) =
  66. g(-x).  This reduces the problem to finding a function on [0,pi/2]
  67. that satisfies the above conditions.  
  68.  
  69. It is the above list of conditions that make the problem hard.  In
  70. particular, it appears that every basis function in the set of basis
  71. functions must satisfy the above conditions and that all of the
  72. coefficients must be nonnegative.  If there is a different set of
  73. conditions that yield the same result, it would be nice to hear about
  74. it.  For example, if there is some way to formulate the above problem
  75. as a constrained optimization, it would be nice to know.  My current
  76. proposal for solving the problem is to use my amended set of basis
  77. functions listed above with nonnegative coefficients, ie.,
  78.     g(x) = sum_i a_i * g_i(x) 
  79. where all of the coefficients are forced to satisfy a_i >= 0.
  80.  
  81. Can anyone tell whether this set of basis functions is sufficient for
  82. the problem as I have now stated it, ie., is it a complete basis?  If
  83. not, is there another basis which is?
  84.  
  85. Darrell R. Hougen
  86.