home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15427 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-23  |  1.5 KB  |  37 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!noc.near.net!news.cs.brandeis.edu!binah.cc.brandeis.edu!RUBERMAN
  3. From: ruberman@binah.cc.brandeis.edu
  4. Subject: Re: another trivial homology question
  5. Message-ID: <1992Nov23.204643.10804@news.cs.brandeis.edu>
  6. Sender: news@news.cs.brandeis.edu (USENET News System)
  7. Reply-To: ruberman@binah.cc.brandeis.edu
  8. Organization: Brandeis University
  9. References: <1992Nov23.150344.2734@crl.dec.com>
  10. Date: Mon, 23 Nov 1992 20:46:43 GMT
  11. Lines: 24
  12.  
  13. In article <1992Nov23.150344.2734@crl.dec.com>, herlihy@crl.dec.com (Maurice
  14. Herlihy) writes: 
  15. >Let D be an n-dimensional simplicial complex that is connected with trivial
  16. >homology groups above dimension 0.  Is D necessarily homeomorphic to an n-disk?
  17.  
  18.  
  19. Not necessarily: 
  20. Example 1: 
  21. D might not be simply connected.  For example, let P be
  22. Poincare's homology sphere (= S^3/I* where I* is the binary icosahedral
  23. group), and let D = P - an open 3-ball.  There are similar examples in
  24. every dimension > 2.  Given an example D_n in dimension n with boundary =
  25. S^{n-1}, form S^1 x D_n U D^2 x D^{n-1} = D_{n+1}.  D_{n+1} has the homology
  26. of a ball but the same fundamental group as D_n.  
  27.  
  28. Example 2: D might be simply connected, but boundary D a homology sphere
  29. with nontrivial fundamental group.  There are examples in all dimensions > 3
  30. due to Mazur.  You can find this at the end of Rolfsen's book Knots and Links.
  31.  
  32. Example 0: If D and its boundary are both simply connected, D still
  33. might be a counterexample to the Poincare conjecture. The only interesting
  34. dimensions for this are n=3,4.
  35.  
  36. Daniel Ruberman
  37.