home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15299 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-20  |  3.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!kuhub.cc.ukans.edu!husc-news.harvard.edu!blom
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: 1+1/2+1/3+...+1/n > x (SOLUTION)
  4. Message-ID: <1992Nov20.101643.17628@husc15.harvard.edu>
  5. From: blom@husc15.harvard.edu
  6. Date: 20 Nov 92 10:16:43 EST
  7. Organization: Harvard University Science Center
  8. Lines: 86
  9.  
  10. The harmonic series with which you are dealing is closely related to
  11. the psi function, defined as
  12.                          
  13.                          d            
  14.                          -- GAMMA (z) 
  15.                          dz           
  16.              PSI (z) := --------------
  17.                            GAMMA (z)  
  18.  
  19. where the gamma function is defined as
  20.  
  21.              GAMMA (1) = 1!
  22.  
  23.              GAMMA (n) = (n - 1) GAMMA (n - 1)
  24.  
  25. the gamma function is also defined for non-integral values, but it
  26. gets hairy.  Anyway, these properties result:
  27.  
  28.                                       1 
  29.              PSI (z + 1) = PSI (z) + ---
  30.                                       z 
  31.  
  32.  
  33. If n is an integer, then
  34.  
  35.  
  36.                                  n - 1  1 
  37.              PSI (n) = PSI (1) +  SUM  ---
  38.                                   k=1   k 
  39.  
  40.  
  41.              PSI (1) = -euler_gamma
  42.                      = -0.5772156649015328606065120900824024310421593359
  43.  
  44.  
  45.                                 inf  BERNOULLI (k) 
  46.              PSI (z) = LN (z) - SUM ---------------
  47.                                 k=1          k     
  48.                                           k z      
  49.  
  50.  
  51. Where BERNOULLI (k) is the kth Bernoulli number.  From the above equations,
  52.  
  53.  
  54.                                 inf  BERNOULLI (k) 
  55.              PSI (n) = LN (n) - SUM ---------------
  56.                                 k=1           k  
  57.                                          k (n)   
  58.  
  59.  
  60.                                   n   1     1
  61.              PSI (n) = PSI (1) + SUM --- - ---
  62.                                  k=1  k     n
  63.  
  64.  
  65. Combining these, we find that
  66.  
  67.  
  68.               n   1                            1    inf  BERNOULLI (k) 
  69.              SUM --- = LN (n) + euler_gamma + --- - SUM ---------------
  70.              k=1  k                           2 n   k=2           k
  71.                                                              k (n)
  72.  
  73.  
  74. The Bernoulli numbers can be generated as follows:                                  
  75.  
  76.                                 1
  77.              BERNOULLI (1) = - ---
  78.                                 2
  79.  
  80.                                   1      n - 1  n! BERNOULLI (k) 
  81.              BERNOULLI (n) = - ------- -  SUM  ------------------
  82.                                 n + 1     k=1    k! (n - k + 1)! 
  83.  
  84. The odd Bernoulli numbers B3, B5, etc. are all zero.
  85.  
  86. By expanding the above sequence, we can find the sum of the first n
  87. reciprocals quickly and easily.  My computer gives anomalous results
  88. for n in the range in which the sum > 100, but maybe someone else could
  89. use this formula to verify the exact value for which we are looking.
  90. The greatest integer less than
  91.  
  92.               100 - euler_gamma
  93.              e
  94.  
  95. is a good estimate, but it might be a little off.
  96.