home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15244 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-19  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!ornl!rsg1.er.usgs.gov!darwin.sura.net!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!elroy.jpl.nasa.gov!news.claremont.edu!ucivax!news.service.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: ODE problem...
  4. Message-ID: <a_rubin.722192494@dn66>
  5. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  6. Date: 19 Nov 92 17:01:34 GMT
  7. References: <1992Nov17.205237.21447@athena.mit.edu>
  8. Organization: Beckman Instruments, Inc.
  9. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  10. Lines: 53
  11.  
  12. In <1992Nov17.205237.21447@athena.mit.edu> frisch1@athena.mit.edu (Jonathan Katz) writes:
  13.  
  14. >The following ODE problem came up recently.
  15. >I know how to solve it by the power series method, but was wondering
  16. >if anyone could figure out an easier way of solving it (maybe a nice
  17. >substitution?).
  18. >(x and y are functions of t, a is a constant)
  19. >x'=(a)(x)cost+(a)(y)sint
  20. >y'=(a)(x)sint-(a)(y)cost.
  21. >It may be worth noting that, viewing this as a matrix problem:
  22. >x'=Ax,
  23. >A^2=I.
  24.  
  25. >I don't know if that helps.
  26.  
  27. I used a completely different approach than Robert.  If you write:
  28.  
  29. z = x + i y, then the equation becomes:
  30.  
  31.       i t  _
  32. z' = E     z
  33.  
  34. Playing with this for a while, and guessing that solutions z exist which
  35. are a sum of only 2 expontials in t, we can derive the general solution:
  36.  
  37. Let c be one of the square roots of (a^2-1/4).
  38.  
  39. C(t) = / cosh(|c| t)      , c real != 0
  40.        | 1                , c = 0
  41.        \ cos(|c| t)       , c pure imaginary
  42.  
  43. S(t) = / sinh(|c| t)/|c|  , c real != 0
  44.        | t                , c = 1
  45.        \ sin(|c| t)/|c|   , c pure imaginary
  46.  
  47.  
  48. x0(t) = C(t) cos(t/2) + S(t) (a cos(t/2) + sin(t/2)/2)
  49. x1(t) = -C(t) sin(t/2) + S(t) (a sin(t/2) + cos(t/2)/2)
  50.  
  51. y0(t) = C(t) sin(t/2) + S(t) (a sin(t/2) - cos(t/2)/2)
  52. y1(t) = C(t) cos(t/2) + S(t) (-a cos(t/2) + sin(t/2)/2)
  53.  
  54. Then x=C0 x0 + C1 x1 and y=C0 y0 + C1 y1 form the general solution.
  55.  
  56.  
  57.  
  58.  
  59.  
  60. --
  61. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  62. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  63. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  64. My interaction with our news system is unstable; please mail anything important.
  65.