home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15231 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-19  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: cubic equation feetnote
  5. Date: 19 Nov 92 10:13:21
  6. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  7. Lines: 39
  8. Distribution: usa
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Nov19101321@strident.think.com>
  10. References: <preece.3@StPaul.c10sd4.NCR.COM>
  11.     <1992Nov19.095515.1896@sun0.urz.uni-heidelberg.de>
  12. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  13. In-reply-to: afm@trillian's message of Thu, 19 Nov 92 09:55:15 GMT
  14.  
  15. Scott Chase has already given a solution to the cubic 
  16. x^3 + bx^2 + cx + d = 0 using trig functions: 
  17.  
  18.     x = rational_function(cos(1/3 arccos(f))),
  19.  
  20.                             where f = rational_function(b,c,d,sqrt(-D)),
  21.                             where D is the discriminant = prod (r_i-r_j)^2
  22.                                                           i<j
  23.                             where r_1, r_2, r_3 are the roots; D is of
  24.                                course also a rational function of the coefficients
  25.  
  26. and Mark Dubinsky has given the solution by radicals, often called Cardan's
  27. formula.  Finally Andreas Mueller has pointed out that when the cubic has
  28. three distinct real roots, we have the famous irreducible case: D is
  29. positive, so we end up taking a cube root of a complex number, which in a
  30. sense means using trig functions anyway (though that point is arguable).
  31.  
  32. Feetnote:
  33.  
  34. (1) The ancient Greeks, as is well-known, came up with three problems (or
  35.     constructions) that they were unable to do with ruler and compass: (i)
  36.     duplicating the cube, (ii) trisecting the angle, and (iii) squaring the
  37.     circle.  As many books point out, (i) and (ii) both reduce to cubics,
  38.     and so cannot be done in general with ruler and compass (though a
  39.     rigorous proof requires a little field theory).  I find it entertaining
  40.     to note that, conversely, all cubics reduce essentially to either
  41.     n-plicating the cube (i.e., finding the cube root of a real number n),
  42.     or trisecting an angle!
  43.  
  44. (2) Cardan was not the discover of Cardan's formula, merely the first to
  45.     publish it.  According to several histories of mathematics, Scipio del
  46.     Ferro was the first discoverer, and Tartaglia later independently
  47.     rediscovered it.
  48.  
  49. (3) It is an amusing exercise in Galois theory to prove that the
  50.     irreducible case is in fact irreducible-- that is, if a cubic with
  51.     rational coefficients has three distinct real roots, and none of these
  52.     roots are rational, then none of the roots lie in any extension field
  53.     obtained by repeatedly adjoining roots of positive reals.
  54.