home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15132 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-17  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!sgiblab!darwin.sura.net!wupost!cs.utexas.edu!sun-barr!ames!agate!dog.ee.lbl.gov!csa3.lbl.gov!sichase
  2. From: sichase@csa3.lbl.gov (SCOTT I CHASE)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Solutions to a cubic equation
  5. Date: 17 Nov 1992 11:49 PST
  6. Organization: Lawrence Berkeley Laboratory - Berkeley, CA, USA
  7. Lines: 62
  8. Distribution: usa
  9. Message-ID: <17NOV199211491821@csa3.lbl.gov>
  10. References: <1992Nov16.221527.0313263@locus.com>
  11. NNTP-Posting-Host: 128.3.254.198
  12. News-Software: VAX/VMS VNEWS 1.41    
  13.  
  14. In article <1992Nov16.221527.0313263@locus.com>, markd@locus.com (Mark Dubinsky) writes...
  15. >OK, this bugged me back in high school, and then I was sick last week
  16. >with nothing better to do, and I tried to figure it out, and it's 
  17. >bugging me again.  What is the formula for the solutions of a cubic
  18. >equation
  19. > 
  20. >x3 + ax2 + bx + c = 0    ?
  21.  
  22. It is actually quite simple once you know how:
  23.  
  24. Step 1:
  25.  
  26.     Y^3 + A*Y^2 + B*Y + C = 0        (*)
  27.  
  28. Eliminate the Y^2 term by suitable substitution.  Since
  29.  
  30.     (Y+K)^3 = Y^3 + 3*K*Y^2 + ...
  31.  
  32. the correct substitution is clearly X = Y - A/3.  I'll skip the trivial
  33. algebra and simply conclude that the original equation (*) reduces to
  34.  
  35.     X^3 + D*X + E = 0            (**)
  36.  
  37.     where     D = 1/3  * (3*A - B^2)     and
  38.         E = 1/27 * (2*A^3 - 9*A*B + 27*C).
  39.  
  40. Step 2:
  41.  
  42.     Solve (**).  This is the part I had to look up.  The idea is to 
  43. use the trignometric identity:
  44.  
  45.     4*cos^3(x) - 3*cos(x) - cos(3*x) = 0.    (***)
  46.  
  47. This equation has the same form as (**).  Let X = M*COS(x).  Then (**) becomes
  48.  
  49.     M^3*cos^3(x) + D*M*cos(x) + E = 0.
  50.  
  51. Thus, the sum on the left hand side is identically zero (see (***)) if:
  52.  
  53.     M^3   - D*M    E
  54.     --- = ------ = ----------, or if
  55.      4      3    -COS(3*x)
  56.  
  57.  
  58.     M      = 2*SQRT(-D/3)
  59.  
  60.     COS(3*x) = 3*E/(D*M).
  61.  
  62. There you have it.  Any equation with a solution with theta = x will
  63. have two others at theta = x + 2*PI/3 and x + 4*PI/3.  QED.
  64.  
  65. Of course, it is possible by appropriate choice of the original constants to
  66. have ABS( COS(3*x) ) > 1.  This simply requires allowing imaginary x.  The COS
  67. then becomes a COSH and you continue in the same way.
  68.  
  69. -Scott
  70. --------------------
  71. Scott I. Chase            "It is not a simple life to be a single cell,
  72. SICHASE@CSA2.LBL.GOV         although I have no right to say so, having
  73.                  been a single cell so long ago myself that I 
  74.                  have no memory at all of that stage of my 
  75.                  life." - Lewis Thomas
  76.