home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15116 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-17  |  1.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!know!cass.ma02.bull.com!think.com!yale.edu!spool.mu.edu!darwin.sura.net!europa.asd.contel.com!emory!ogicse!das-news.harvard.edu!das-news!kosowsky
  2. From: kosowsky@minerva.harvard.edu (Jeffrey J. Kosowsky)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Borel product measures
  5. Message-ID: <KOSOWSKY.92Nov17115347@minerva.harvard.edu>
  6. Date: 17 Nov 92 16:53:47 GMT
  7. Sender: usenet@das.harvard.edu (Network News)
  8. Organization: Harvard Robotics Lab, Harvard University
  9. Lines: 32
  10.  
  11.  
  12. Suppose X and Y are topological spaces. Let E and F be their
  13. respective Borel sigma-algebras. I am interested in knowing when the
  14. product sigma-algebra ExF is itself Borel.
  15. I know the following facts:
  16.  
  17. 1] If the topologies on X and Y are second countable, then clearly ExF
  18. is Borel.
  19.  
  20. 2] In general ExF is not Borel.
  21.  
  22. 3] Let u and v be Borel measures on (X,E) and (Y,F) respectively. Then
  23. the completion (ExF)* with respect to uxv is not in general Borel.
  24.  
  25. 3] If (X, E, u) and (Y, F, v) are locally compact, sigma-compact,
  26. sigma-finite Borel regular measure spaces, the (XxY, (ExF)*, uxv) is a
  27. locally compact, sigma-compact, sigma-finite *Borel* regular measure
  28. space.
  29. (This follows from a construction using the Riesz representation
  30. xtheorem)
  31.  
  32. So I am interested in knowing under what conditions the completion
  33. (ExF)* with respect to uxv contains all Borel sets.
  34. Now, (3) shows that locally compact, sigma-compact, sigma-finite Borel
  35. regular measures are sufficient to insure a Borel product
  36. sigma-algebra. Can these conditions be relaxed. e.g. are sigma-finite
  37. Borel regular measures sufficient?
  38.  
  39. Please provide a proof and/or reference for your suggested sufficient
  40. conditions. Thank you!
  41.  
  42. Jeff Kosowsky
  43.