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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15034 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-11-15  |  3.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!noc.near.net!news.bbn.com!olivea!hal.com!darkstar.UCSC.EDU!ucscb.UCSC.EDU!ask
  2. From: ask@ucscb.UCSC.EDU (Andrew Stanford Klingler)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Lie vs. Covariant derivatives
  5. Message-ID: <1e7pcsINNpoa@darkstar.UCSC.EDU>
  6. Date: 16 Nov 92 09:24:44 GMT
  7. Distribution: usa
  8. Organization: University of California; Santa Cruz
  9. Lines: 64
  10. NNTP-Posting-Host: ucscb.ucsc.edu
  11.  
  12.  
  13. :From: glezen@drb-mathsun1.usc.edu (Paul Glezen)
  14.  
  15. :   I've seen several interesting responses to the inquiry: 
  16.  
  17. :   "What is the difference between covariant derivative and the Lie
  18. :    derivative?"
  19.  
  20. :   But comments like "one requires a certain vector field to be defined at
  21. :a point while the other needs it to be defined on some neighborhood", while
  22. :correct, shed little light on why you get different answers.  Perhaps a simple
  23. :example will show why these things are two completely different beasts.  The
  24. :emphasis here is on simplicity and intuition; not technicalities meaningless
  25. :to a beginner.
  26.  
  27. :   Let's choose our manifold to be the 2-d plane and let P be the point (1,0).
  28. :Consider two vector fields V and W defined by
  29.  
  30. :      V = (-y)i + (x)j        where i and j are the standard basis for
  31. : and                          the plane and hence for the tangent space
  32. :      W =  i                  to the plane.
  33.  
  34. :   V corresponds to the velocity field arising from a rigid counter-clockwise
  35. :rotation about the origin while W is the constant vector field which points to 
  36. :the right and has length one.  Allow me to denote
  37.  
  38. :      L(V,W)  := Lie derivative of W in the direction of V
  39.  
  40. :      D(V,W)  := Covariant derivative of W in the direction of V
  41.  
  42. :   Notice also the diffence between L and D when you switch V and W.  Since it
  43. :can be shown that L(V,W) = [V,W], the Lie bracket, we expect L(V,W) = -L(W,V).
  44. :In our example, it is clear that the diffeomorphisms induced by W are merely
  45. :translations to the right.  The tangent mappings for each diffeomorphism is
  46. :clearly the identity.  If you start at (1,0) and move to the right, indeed 
  47. :the vectors of V, the rotation field, seem to get larger in the j direction.
  48. :Thus when you compare V(1+dx,0), via the identity tangent map of the diffeo-
  49. :morphism induced by W, to V(1,0), you see that indeed the vector field V is
  50. :getting bigger in the j direction.  Thus L(W,V) = j.
  51.  
  52. :   On the otherhand, it is easy to see that D(W,V) = -i at the point P if you
  53. :think of V as being the velocity field of a particle rotating about the origin
  54. :at constant speed.  Then D(W,V) is just the acceleration (change in velocity)
  55. :which points toward the origin.
  56.  
  57. D(W,V) is the covariant derivative of V in the direction of W.  But
  58. W is a constant i pointing along the x-axis.  An infinitesimal 
  59. displacement along the x-axis causes V to change by (dx)j, so
  60. we get D(W,V)=j.  This is merely a calculational error, but it brings
  61. back to mind the equation that underlay my geometric confusion.
  62.  
  63. L(V,W) = [V,W] = D(V,W) - D(W,V)
  64.  
  65. So in some restricted sense I can think of the Lie derivative as
  66. constructed out of covariant differentiation around a little loop
  67. (incidentally this makes antisymmetry of Lie derivative obvious).
  68. This is what I was mentally referring to with my previous post.
  69. However, the equation's only true for torsion-free connections.
  70.  
  71. As a followup: what does the existence of torsion mean to those
  72. of us whose experience is limited to GR? (Apart from a bad choice
  73. of frame field!)
  74.  
  75. ask@ucscb.ucsc.edu
  76.