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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / logic / 2161 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-23  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.logic
  4. Subject: Truth and large cardinals (was: Lowenheim-Skolem theorem)
  5. Followup-To: sci.logic
  6. Date: 23 Nov 92 14:11:11
  7. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  8. Lines: 33
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Nov23141111@strident.think.com>
  10. References: <1992Nov20.182803.14288@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  11.     <368@mtnmath.UUCP> <1992Nov22.230633.12855@galois.mit.edu>
  12.     <373@mtnmath.UUCP>
  13. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  14. In-reply-to: paul@mtnmath.UUCP's message of 23 Nov 92 16:38:49 GMT
  15.  
  16. In article <373@mtnmath.UUCP> paul@mtnmath.UUCP (Paul Budnik) writes:
  17.  
  18.        [...] The way mathematicians extend logic
  19.    today is by postulating the existence of large cardinals.
  20.    These abstractions are so far removed from the computational roots of
  21.    mathematics that there is no intuitive basis for deciding between them.
  22.    However these large cardinal axioms have combinatorial implications.
  23.    For example they allow us to decide the halting problems for a wider
  24.    class of Turing Machines. 
  25.  
  26.  
  27. I assume that last sentence refers to this sort of situation: in ZFI, one
  28. can prove Con(ZF), which in turn says that a Turing machine that spent its
  29. time searching for a contradiction in ZF would never halt.
  30.  
  31.                             It is my contention that if one focused
  32.    on understanding these combinatorial implications and forgot about the
  33.    Platonic heaven of completed infinite totalities, real progress could
  34.    be made in extending logic.
  35.  
  36. Suppose we have some large cardinal axiom, say R (for Really Big Cardinal).
  37. In ZFR one can prove (say) that Turing machine T never halts.  Are you
  38. saying that one should add that combinatorial statement (call it TR) as a
  39. new axiom, but not R?
  40.  
  41. I can see a certain philosophical appeal, in that the combinatorial
  42. statement TR is in principle falsifiable.  One might regard TR as having a
  43. truth value in some absolute philosophical sense, but not R.  On the other
  44. hand, what reason do I have for believing that TR is true, if I reject R as
  45. meaningless?
  46.  
  47. Of course, I could always adopt a formalist attitude-- "let's play around
  48. with this new axiom TR, and see what happens."  But I could do that with ZFR.
  49.