home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / logic / 2074 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-17  |  3.0 KB
  1. Xref: sparky sci.logic:2074 sci.physics:19073
  2. Path: sparky!uunet!mtnmath!paul
  3. From: paul@mtnmath.UUCP (Paul Budnik)
  4. Newsgroups: sci.logic,sci.physics
  5. Subject: Re: Lowneheim-Skolem theorem (was: Continuos vs. discrete models)
  6. Message-ID: <356@mtnmath.UUCP>
  7. Date: 17 Nov 92 17:39:47 GMT
  8. References: <1992Nov7.214329.24552@galois.mit.edu> <COLUMBUS.92Nov16105941@strident.think.com>
  9. Followup-To: sci.logic
  10. Organization: Mountain Math Software, P. O. Box 2124, Saratoga. CA 95070
  11. Lines: 48
  12.  
  13. In article <COLUMBUS.92Nov16105941@strident.think.com>, columbus@strident.think.com (Michael Weiss) writes:
  14. > In an earlier post, Paul Budnik writes:
  15. >    This well known result is called the Lowenheim and Skolem theorem. The
  16. >    idea of the proof is that a formal system is a computer program for enumerating
  17. >    theorems. The names of all real numbers created by such a program are
  18. >    obviously countable. Of course the mapping of these real numbers to names is
  19. >    not definable within the the formal system and thus these reals cannot be
  20. >    shown to be countable within the system.
  21. > 
  22. > This is not the correct statement of the Loewenheim-Skolem theorem.  Here is
  23. > one formulation (the so-called "downward" Loewenheim-Skolem theorem):
  24.  
  25. I did not say that the above was a statement of the theorem, but that it was
  26. the idea of the proof. I suspect that the `downward' L-S theorem is a 
  27. generalization of what I was referring to.
  28.  
  29. >     Any model of a countable first-order theory has a countable elementary
  30. >     submodel.  (By "countable theory", we mean one whose language is
  31. >     countable.  "Elementary" means, roughly, that any assertion true of the
  32. >     model is true also of the submodel.)
  33. > 
  34. > Budnik's statement about there being only a countable infinity of definable
  35. > real numbers is correct, if by "definable" we mean "definable by a formula
  36. > in a countable theory".  This fact is essentially trivial, since there are
  37. > only a countable number of formulas in such a theory.
  38.  
  39. But all formal system have only a countable number of formulas. You and
  40. many mathematicians may believe that there exists a Platonic heaven in
  41. which all reals reside and that some formal systems include sentences
  42. referring to each of these reals. That is a philosophical conjecture that
  43. is open to question.
  44.  
  45. > ... 
  46. > In short: there may be good reasons for radically changing the foundations
  47. > of physics (and there may not-- pace, defenders of the status quo(ntum)!),
  48. > but the Loewenheim-Skolem theorem is not one of them.
  49.  
  50. I do not think anyone is going to accept or reject a physical theory based
  51. on L-S. I do think it provides a valuable perspective in thinking about these
  52. issues. A formal system is a computer program for enumerating theorems.
  53. Whether it is anything beyond that and whether the infinite totalities
  54. it supposedly refers to exists is an open question. There is no physical
  55. evidence for such objects. It is hard to understand what such physical
  56. evidence might be.
  57.  
  58. Follow ups are directed to `sci.logic'.
  59.  
  60. Paul Budnik
  61.