home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Chip 2002 June / Chip_2002-06_cd1.bin / zkuste / derive / download / Setup.exe / %MAINDIR% / Users / Tensor2.dmo < prev    next >
Encoding:
Text File  |  2002-05-15  |  2.3 KB  |  80 lines
  1. "           The Derive Tensor Algebra and Analysis Package              "
  2. "   Demonstration File Tensor2.dmo to derive the Schwarzschild metric   "
  3. "      Written by Hans A. Dudler (619 420-1787)  25 November 1994       "
  4. "      Updated for Derive 5                      10 November 2001       "
  5. "     For more detailed documentation, see the text file Tensor.doc     "
  6.  
  7. ; Load the Tensor.mth utility file
  8. LOAD("Tensor.mth")
  9.  
  10. " Problem : Find a solution of R_ij=0 with spherical spatial symmetry "
  11.  
  12. ;Spherical coordinate system
  13. x:=[r,theta,phi,t]
  14.  
  15. ;Flat (zero curvature) covariant metric tensor
  16. g_ij:=[[-1,0,0,0],[0,-r^2,0,0],[0,0,-r^2*SIN(theta)^2,0],[0,0,0,1]]
  17.  
  18. ;Assume modified metric with unknown functions X(r) and Y(r)
  19. [X(r):=,Y(r):=]
  20.  
  21. ;New metric; we will find X(r), Y(r) (both > 0) such that R_ij = 0.
  22. g_ij:=[[-X(r),0,0,0],[0,-r^2,0,0],[0,0,-r^2*SIN(theta)^2,0],[0,0,0,Y(r~
  23. )]]
  24.  
  25. ;Assign dual (inverse) to g__ij
  26. g__ij:=g_ij^(-1)
  27.  
  28. ;Compute Christoffel Symbol (2nd kind) and assign to C_ij_k (saves time)
  29. C_ij_k:=CHRIS2(g_ij,g__ij,x)
  30.  
  31. ;Computing Ricci tensor R_ij (should be zero)
  32. R_ij:=RICCI(C_ij_k,x)
  33.  
  34. ;Raising the 1st index of the covariant Ricci tensor
  35. R__i_j:=MI_T(R_ij,1,g__ij)
  36.  
  37. ;Computing RR = R__4_4 - R__1_1 (turns out to be simple)
  38. RR:=EL_T(R__i_j,[4,4])-EL_T(R__i_j,[1,1])
  39.  
  40. ;RR must be zero. We claim that X(r) = a/Y(r) will do it.
  41. [a:=,X(r):=a/Y(r)]
  42.  
  43. ;Recomputing RR in fact yields zero
  44. RR
  45.  
  46. ;Recomputing R__i_j with X(r) = a/Y(r)
  47. R__i_j
  48.  
  49. ;R_2_2 = 0 is now a differential equation for Y(r)
  50. DE:=a*r^2*EL_T(R__i_j,[2,2])
  51.  
  52. ;We claim that Y(r) = a(1-b/r) is the general solution
  53. [a:=,b:=,Y(r):=a*(1-b/r)]
  54.  
  55. ;Recomputing DE confirms this
  56. DE
  57.  
  58. ;Recomputing g_ij to determine the constants a,b
  59. ;This is the famous Schwarzschild metric
  60. g_ij
  61.  
  62. ;For r -> inf we must have the original flat metric, hence a=1.
  63. ;b can be found from the Newtonian limit (not done here).
  64. a:=1
  65.  
  66. ;Recomputing R_ij to verify solution: OK
  67. R_ij
  68.  
  69. ;Computing Riemann curvature tensor (2nd kind) R__i_jkl
  70. R__i_jkl:=RIEM2(C_ij_k,x)
  71.  
  72. ;Finding non-zero elements of curvature tensor
  73. NZEL_T(R__i_jkl)
  74.  
  75. ;Grouped non-zero elements (neg.indices indicate neg.value !)
  76. GNZE_T(R__i_jkl)
  77.  
  78. " From this we see that R__i_jkl = 0, except for the elements     "
  79. " R__1_212 = -R__1_221 = -R__4_224 = R__4_242 = -b/(2 r)    etc.  "
  80.