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Text File  |  1995-03-22  |  4.7 KB  |  135 lines
  1.  133 
  2. êê SUBTRACTING FRACTIONS, ELEMENTARY LEVEL
  3.  
  4. è In this section we will be looking at subtracting positive frac-
  5. tions.ïIn every case at this level, we will subtract a smaller frac-
  6. tion from a larger fraction.ïThis means that the answer will al-
  7. ways be a positive fraction in return.ïWe will begin our study of sub-
  8. tracting by considering two cases.ïThe first case will involve sub-
  9. tracting positive fractions that have the same denominators.ïCase two,
  10. a more general problem type, includes subtracting positive fractions
  11. that have different denominators.ïThe positive fractions and zero are
  12. described in the following list.
  13.  
  14. êêêêPositive Fractions
  15.  
  16. #êêêï╚è╔è╩è╦è╠è═è╬ ...
  17. êêêï1è1è1è1è1è1è1
  18.  
  19. #êêêï╚è╔è╩è╦è╠è═è╬ ...
  20. êêêï2è2è2è2è2è2è2
  21.  
  22. #êêêï╚è╔è╩è╦è╠è═è╬ ...
  23. êêêï3è3è3è3è3è3è3
  24. êêêè .
  25. êêêè .
  26. êêêè .
  27.  
  28. Case 1)èSubtracting Positive Fractions With the Same Denominators
  29.  
  30. è To subtract positive fractions that have the same denominators, you
  31. should write down the common denominator once and then subtract the nu-
  32. merators.
  33.  
  34. Example 1)
  35.  
  36. è To subtract 3/8 from 7/8, you should write down the common denomi-
  37. nator once then subtract the numerators.ïWith subtraction it is very
  38. important which fraction is written first and which is second.ïThe
  39. fraction doing the subtracting always comes second.ïIn this problem,
  40. since 3/8 is being subtracted from 7/8, 3/8 must be written second.
  41.  
  42. êê 7è3êï7 - 3êï4ê 1
  43. #êê ─ - ─è =è ─────è =è ─è =è─
  44. êê 8è8êè 8êè 8ê 2
  45.  
  46. The answer is reduced to lowest form.
  47.  
  48.  
  49. Case 2)ïSubtracting Positive Fractions with Different Denominators
  50.  
  51. è To subtract positive fractions that have different denominators, it
  52. is first necessary to express the denominators in prime factored form.
  53. To write a denominator in prime factored form, you should break it down
  54. into products of prime numbers.ïThe prime numbers are described in the
  55. following list.
  56. êêè 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...
  57. Each of ç numbers has the property that the only factors of each
  58. number are "1" and the number itself.
  59.  
  60. Example 2)ïExpress the number, 6, in prime factored form.ïSince the
  61. number, 6, can be factored into the product of the two prime numbers
  62. 2 and 3, the prime factorization of 6 is 2∙3.
  63.  
  64. Example 3)ïExpress the number, 18, in prime factored form.ïYou should
  65. start with the smallest prime number, 2, and see if it divides evenly
  66. into 18.ïSince 2 goes into 18 nine times, you can express 18 as 2∙9.
  67. Also, since the next smallest prime number, 3, divides evenly into 9,
  68. 18 can be expressed as 2∙3∙3.ïSince ç factors are all prime num-
  69. bers, the prime factorization of 18 is 2∙3∙3.
  70.  
  71. Example 4)
  72.  
  73. è To subtract the fractions, 3/4 - 2/3, it is first necessary to
  74. express the denominators in prime factored form.
  75.  
  76. êêêè3ë2êè3ë 2
  77. #êêêè─ï-ï─è =è ───ï-ï─
  78. êêêè4ë3êï2∙2ë3
  79.  
  80. At this point you can see that the second fraction is missing a factor
  81. of "2∙2" in its denominator, and the first fraction is missing a factor
  82. of 3.ïIt is necessary to multiply both the top and bottom of the first
  83. fraction by 3, and the second fraction by 2∙2.
  84.  
  85. êêê3ë 2êè3ï3è 2è2∙2
  86. #êêë ───ï-ï─è =è ─── ─ +ï─ ∙ ───
  87. êêë 2∙2ë3êï2∙2∙3è 3è2∙2
  88.  
  89. Now, both denominators have the same factors, and you can multiply to
  90. simplify the form of the problem.
  91.  
  92. êêë3ï3ë2è2∙2êè9ë 8
  93. #êêè ─── ─ï-ï─ ∙ ─ ─è =è ──ï-ï──
  94. êêè 2∙2∙3ë3è2∙2êï12ë12
  95.  
  96. Since the two fractions have the same denominators, you can write down
  97. the denominator once and subtract the numerators like we did in Exam-
  98. ple 1.
  99. êêê 9ë 8êï9 - 8êè1
  100. #êêê──ï-ï──è =è ─────è =è ──
  101. êêê12ë12êè 12êè12
  102.  
  103. Thus, the difference between 3/4 and 2/3 is 1/12.
  104. è Another way to subtract fractions is to add them in a column.ïLeon
  105. the Fraction Wizard prefers to use the method in the above examples, and
  106. his method should be considered to be correct and general in the sense
  107. that it always works no matter how big the numbers.èMany people, how-
  108. ever, prefer to subtract fractions in a column.ïIt is still necessary
  109. to find the least common denominator when you subtract fractions in a
  110. column, and it is perfectly alright to just write down the least common
  111. denominator if you can identify it by inspection.ïYou can always go
  112. back to the prime factorization method if the numbers are too large to
  113. identify the least common denominator by inspection.
  114.  
  115. Example 5)
  116. êSubtract the fraction 2/3 from 3/4 using the column approach.
  117. First, you should identify the least common denominator and write it
  118. down next to the original problem.ïThen, you can find the missing nu-
  119. merators by dividing and multiplying.ïFinally, the resulting fractions
  120. should be subtracted.
  121.  
  122. êêêï3êêê9
  123. #êêêï─è =è ──è =è ──
  124. êêêï4êï12êï12
  125.  
  126. êêêï2êêê8
  127. #êêë-è─è =è ──è =è ──
  128. êêêï3êï12êï12
  129. #êêê────ê────ê────
  130.  
  131. êêêêêêè1
  132. #êêêêêêï──
  133. êêêêêêï12
  134.  
  135.