| Matika krokem - 5.lekce ... |
|
Komplexní čísla 5.lekce - Řešení rovnic v oboru komplexních čísel |
Vytisknout |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| A. Výklad a ukázkové příklady Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty a,b,c nemá v oboru reálných čísel pro záporný diskriminant (D<0) reálné řešení (neexistuje reálná odmocnina ze záporného čísla). V oboru komplexních čísel lze ale dokázat, že platí:  Odmocnina z čísla -D (kladné) již existuje a dostáváme závěr:
Příklad 1 V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x2 - 4x + 2 = 0. D = 16 - 24 = -8  Příklad 2 V oboru komplexních čísel řešte rovnici (p - 1)x2 - (p - 2)x + 2p - 1 = 0 s neznámou x a s reálným parametrem p.  Množinu kořenů K rovnice v závislosti na parametru p shrnuje tabulka:
Protože je každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty v oboru komplexních čísel řešitelná (existují její kořeny), lze i každý kvadratický trojčlen s reálnými koeficienty rozložit v součin a platí:
Příklad 3 Rozložte v součin lineárních činitelů kvadratický trojčlen x2 - 6x + 13. Nejprve určíme kořeny odpovídající rovnice x2 - 6x + 13 = 0. D = 36 - 52 = -16  A nyní můžeme rozložit: x2 - 6x + 13 = (x - 3 + 2i)(x - 3 -2i) Binomické rovnice Binomická rovnice je rovnice tvaru
Obě čísla převedeme do goniometrického tvaru, použijeme Moivreovy věty a dostáváme: |x|n(cosnf+isinnf) = |a|(cosa+isina) Číslo x je tedy komplexní n-tou odmocninou čísla a (kořenem binomické rovnice) a platí:
Při odmocňování tedy absolutní hodnotu odmocníme a argument dělíme odmocnitelem. Odmocnin je n a každou další dostaneme přičtením  k argumentu.Příklad 4 V množině komplexních čísel řešte rovnici x4 + 1 + i = 0 . Upravíme: x4 = -1 - i číslo -1 - i převedeme do goniometrického tvaru:  Nyní určíme čtvrtou odmocninu z tohoto čísla. Obecně vypadá pro k = 0,1,2,3:  a po rozepsání pro jednotlivá k (přičítáme k argumentům  ) ,
máme čtyři kořeny (odmocniny): ,  ,  ,  . Obrazy těchto čísel v Gaussově rovině leží ve vrcholech (n=4) čtverce podle obrázku:  . Kořeny zvláštního případu binomické rovnice xn - 1 = 0 jsou komplexní jednotky a jejich obrazy leží ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do jednotkové kružnice se středem v počátku. Jeden z vrcholů leží v bodě 1 na reálné ose. Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty.
Komplexní čísla, která jsou kořeny rovnice, nemusí být sdružená. Sdružená jsou v případě reálných koeficientů a záporného diskriminantu. Příklad 5 V množině komplexních čísel řešte rovnici (1-i)x2 - (5-i)x + 6 - 4i = 0 . Diskriminant rovnice je D = (5-i)2 - 4(1-i)(6-4i) = 16 + 30i = 34(cos61,927513..o +isin61,927513..o) .  (cos30,963757..o + isin30,963757..o) =
5 + 3i.Kořeny tedy jsou  a po odstranění závorek a vydělení komplexních čísel dostaneme výsledné kořeny: x1 = 2 + 3i a x2 = 1 - i
Příklad 6 Vypočítejte druhou odmocninu komplexního čísla 16 + 30i Výsledkem musí být komplexní číslo, položime tedy:  Umocníme obě strany rovnice na druhou: x2 + 2ixy - y2 = 16 + 30i Porovnáním reálných částí a imaginárních částí dostáváme soustavu rovnic: x2 - y2 = 16 a současně 2xy = 30 Substituční metodou po vyjádření y = 15/x dostáváme rovnici: x4 - 16 x2 - 225 = 0 Ta dává reálné řešení x=5 nebo x=-5 a po dosazení y = 3 nebo y = -3. Výsledkem jsou tedy dvě čísla: 5 + 3i , -5 - 3i Stejně jako pro kvadratický trojčlen s reálnými koeficienty platí i zde:
Příklad 7 Rozložte kvadratický trojčlen (1-i)x2 - (5-i)x + 6 - 4i . V předchozím příkladě jsme určili kořeny odpovídající rovnice a proto můžeme tedy ihned psát: (1-i)x2 - (5-i)x + 6 - 4i = (1-i)(x-2-3i)(x-1+i) B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele C. Příklady na procvičení učiva Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce. Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
D. Kontrolní test E. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem) Komunikace s učitelem (tutorem): Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, 
,0)
, k = 0, 1, 2, ..., n-1
.
Argumenty kořenů se liší o 
,
kde a,b,c,D jsou ale komplexní čísla. Proto bývá největším problémem výpočet druhé odmocniny diskriminantu.
Nejčastěji se diskriminant převede do goniometrického tvaru a potom odmocní jak bylo uvedeno při výpočtu odmocniny (u binomické
rovnice).
z - 9 = 0 
= 0
+ 1