| Matika krokem - 3.lekce ... |
|
Komplexní čísla 3.lekce - Absolutní hodnota kompl.čísla, geometrické znázornění kompl.čísel |
Vytisknout |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| A. Výklad a ukázkové příklady Absolutní hodnota komplexního čísla z = a + bi je reálné číslo:
Příklad 1: Určete absolutní hodnotu čísla z:  a tedy:  Komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna jedné, se nazývá komplexní jednotka. Ověřte si, že komplexní jednotkou je např. (1 + 2i)/(2 - i) Komplexními jednotkami jsou z čísel reálných pouze 1 a -1, z ryze imaginárních i a -i. Komplexní čísla nelze uspořádat podle velikosti. Geometrické znázornění komplexních čísel Komplexní číslo můžeme chápat také jako uspořádanou dvojici reálných čísel - první je reálná část kompl.čísla a druhá imaginární část kompl.čísla. Protože existuje vzájemně jednoznačné přiřazení mezi množinou všech uspořádaných dvojic real.čísel a množinou všech bodů v rovině, je zřejmé, že můžeme komplexní čísla znázornit jako body roviny (Gaussova). Rovina komplexníxh čísel (Gaussova rovina) je rovina, jejíž body považujeme za obrazy komplexníxh čísel.   Všechna komplexní čísla, která mají stejnou absolutní hodnotu tedy leží na kružnici se středem v počátku a s poloměrem |z|. Komplexní jednotky leží na jednotkové kružnici. Příklad 2: V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí: |3 - 4i| > |z| > |-i| Číslo z má vzdálenost od počátku menší než číslo 3 - 4i a větší než číslo -i. Protože |3 - 4i| = 5 a |-i| = 1 je jeho vzdálenost od počátku menší než 5 (vnitřek kruhu o poloměru 5) a větší než 1 (vnějšek kruhu s poloměrem 1). Hledaná čísla z tedy leží v mezikruží určeném těmito kružnicemi (bez kružnic).  Jsou-li dána dvě komplexní čísla x = a + bi , y = c + di potom pro absolutní hodnotu jejich rozdílu platí: |x - y| = |(a + bi) - (c + di)| = |(a - c) + (b - d)i| =  a to je vzdálenost obrazů kompl.čísel x a y. Absolutní hodnota rozdílu komplexních čísel určuje jejich vzdálenost v Gaussově rovině. Příklad 3: V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí: |z - i|  |z + 2 - 3i|1.způsob |z - i| určuje vzdálenost čísla z od čísla i , |z + 2 - 3i| = |z - (-2 + 3i)| představuje vzdálenost čísla z od čísla -2 + 3i Hledáme tedy všechna čísla z , jejichž vzdálenost od čísla i je menší nebo rovna vzdálenosti od čísla -2 + 3i. Rovnost vzdáleností od dvou daných bodů nastává na ose úsečky učené těmito body. Požadovaná nerovnost platí v polorovině určené touto osou (včetně osy) a bližším bodem, tj. i.  2.způsob Dosadíme-li za z = x + iy dostáváme: |x + iy - i| |x + iy + 2 - 3i||x + i{y - 1]| |x + 2 + i(y - 3)|po vyjádření absolutních hodnot a úpravách:  x2 + (y - 1)2 (x + 2)2 + (y - 3)2x2 + y2 - 2y + 1 x2 + 4x + 4 + y2 - 6y + 90 4x - 4y +120 x - y + 3
Toto je analytické vyjádření poloroviny, která je na obrázku v 1.způsobu řešení.
Pokud výraz v absolutní hodnotě nepředstavuje rozdíl komplexních čísel, snažíme se ho na rozdíl upravit. Příklad 4: V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:  Po úpravách dostáváme: |z| > 2|z - 3| z  > 4(z - 3)( )z > 4(z - 3)( - 3)z > 4z - 12z - 12 + 363z - 12z - 12 + 36 > 0z - 4z - 4 + 12 > 0(z - 4)( -4) - 4 > 0(z - 4)( -4) > 4|z - 4| > 2 Obrazy kompl.čísel z vyplňují vnějšek kruhu (bez kružnice) se středem v bodě 4 a s poloměrem 2. Příklad 5: V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:  Absolutní hodnotu upravíme: To znamená, že |1 + z| < 2 tedy |z - (-1)| < 2. Jedná se tedy o vnitřek kruhu se středem v bodě -1 a s poloměrem 2. B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele C. Příklady na procvičení učiva Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce. Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
D. Kontrolní test E. Hodnocení výsledků a komunikace s učitelem (tutorem) Komunikace s učitelem (tutorem): Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 4 - 2i|.| z - 4 - 2i | = 0 
| z + 1 | 
