Matika krokem - 2.lekce ...

Komplexní čísla
2.lekce - Komplexní číslo sdružené, dělení komplexních čísel
Vytisknout  

A. Výklad a ukázkové příklady

Komplexní číslo vydělíme reálným číslem, jestliže vydělíme tímto reálným číslem jeho reálnou část i imaginární část.
Tedy: (4 - 3i) / 3 = 4/3 - i .

Nyní si zavedeme komplexní číslo sdružené, které nám pomůže vyřešit problém dělení komplexním číslem.
Komplexní číslo sdružené s číslem a + bi je číslo a - bi. Komplexí číslo sdružené k číslu   z   značíme .
Je-li tedy z = 3 - 2i , je = 3 + 2i .

Pro součin komplexního čísla a čísla s ním sdruženého platí:
z . = (a + bi).(a - bi) = a2 + b2
Součinem komplexního čísla a čísla s ním sdruženého je reálné, nezáporné číslo.

Máme-li vypočítat podíl x/y komplexních čísel x , y (y nenulové), rozšíříme zlomek číslem sdruženým ke jmenovateli, tím vznikne ve jmenovateli reálné číslo, kterým již bez problémů vydělíme.

Příklad 1:


Příklad 2:


Mocnina s celým exponentem
Mocnina komplexního čísla pro celý záporný exponent je definována stejně jako pro reálné číslo:

Pravidla uvedená pro mocniny komplexních čísel s přirozeným exponentem platí i pro exponenty celé záporné, včetně z0 = 1.

Příklad 3:


Příklad 4:


V oboru komplexních čísel lze řešit lineární rovnice s komplexními koeficienty.

Příklad 5:
Řešte v C rovnici:

Po vynásobení (1 - 2i)(2 + i) dostáváme:
(1 +i)(2 +i)x + 2i(1 - 2i)(2 +i) = (1 - 2i)(2 + i)x - (1 -2i)
(1 + 3i)x + 2i(4 - 3i) = (4 -3i)x - 1 + 2i
(-3 + 6i)x = -1 + 2i - 8i - 6


Příklad 6:
Řešte v C rovnici:
(1 - i).z = 2 - i(1 + i)
z je komplexní číslo, můžeme ho tedy napsat jako z = x + iy , kde x , y jsou čísla reálná ( = x - iy )
Po dosazení dostáváme:
(1 - i)(x + iy) = 2(x - iy) - i(1 + i)
x - ix + iy + y = 2x - 2iy - i + 1
Porovnáním reálných částí a porovnáním imaginárních částí dostáváme soustavu rovnic:
x + y = 2x + 1
-x + y = -2y - 1
Řešením této soustavy je y = -1 a x = -2
Hledané komplexní číslo z = -2 - i

Ukážeme si ještě postup při důkazových úlohách.

Příklad 7:
Dokažte, že pro libovolná komplexní čísla z1 a z2 platí:

Zvolíme z1 = a + bi , z2 = c + di , potom

V obou případech jsme dostali stejný výsledek a tím jsme tvrzení dokězali.


B. Příklady s krokovou kontrolou e-učitele

Příklad 1:    Vypočítejte:       


Příklad 2:    Řešte v množině C rovnici:       


Příklad 3:    Zjistěte, zda pro libovolná komplexní čísla z1 , z2 platí:       


C. Příklady na procvičení učiva

 Na následujících příkladech s výsledky se můžete zdokonalit ve znalostech učiva této lekce.
 Pokud si nevíte s příkladem rady, užijte stručné nápovědy - Help.
Příklady označené A mají největší obtížnost, B střední a C nejmenší.

1Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   +(i-2)(4-i)CHelp Výsledek
2Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
3Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   CHelp Výsledek
4Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
5Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   CHelp Výsledek
6Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
7Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   CHelp Výsledek
8V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem:   (2+i)(3-i)-iBHelp Výsledek
9Řešte v C rovnici s neznámou x a komplexním parametrem a:   ax/(2-i) + ix = a(1+i) - x AHelp Výsledek
10V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem:   BHelp Výsledek
11Vypočtěte a výsledek zapište v algebraickém tvaru:   CHelp Výsledek
12V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem:   (1-i)2BHelp Výsledek
13Určete komplexní čísla x, y, která jsou řešením soustavy rovnic:   (1+i)x + 2y = 2   ;   ix + (1-2i)y = 1AHelp Výsledek
14V algebraickém tvaru vyjádřete číslo sdružené s číslem:   p -2 + i + i-1BHelp Výsledek
15V množině C řešte rovnici s neznámou x:   BHelp Výsledek
16V množině C řešte rovnici s neznámou x:   AHelp Výsledek
17V množině C řešte rovnici s neznámou x:   BHelp Výsledek
18V množině C řešte rovnici s neznámou x:   AHelp Výsledek
19Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo z platí:   BHelp Výsledek
20Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo z platí:   CHelp Výsledek
21V množině C řešte rovnici s neznámou x::   BHelp Výsledek
22Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
23Dokažte, že pro libovolné reálné číslo p je číslo:   (p-i)/(1+pi)    ryze imaginárníCHelp Výsledek
24V množině C řešte rovnici s neznámou x::   BHelp Výsledek
25Určete všechna komplexní čísla z, pro něž platí::   BHelp Výsledek
26Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:   CHelp Výsledek
27V množině C řešte rovnici:  (1 - 2i)z = 2 - i(2 + i) BHelp Výsledek
28V množině C řešte rovnici:  (1 + i)z/i = (1 - i)( - 1) BHelp Výsledek
29Vypočtěte:   AHelp Výsledek
30Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
31Vypočtěte a vysledek zapište v algebraickém tvaru:   BHelp Výsledek
32Určete komplexní čísla x, y, která jsou řešením soustavy rovnic:   (1-i)x + y = 3 - i   ;   x + (1-i)y = 1 - iAHelp Výsledek
33V množině C řešte rovnici:  z. = 3z BHelp Výsledek
34V množině C řešte rovnici:  z2 = z + - i(2 + i) BHelp Výsledek
35Řešte v C rovnici s neznámou x a komplexním parametrem a:   (3+4i)x - (2+2i)x = 3 - 5i + ax AHelp Výsledek
36V množině C řešte rovnici:  i(z + - 1) = (1 - i)(z - + 1) BHelp Výsledek
37Vypočtěte:   BHelp Výsledek


D. Kontrolní test

Vyzkoušejte si příklady, které jsou obměnou příkladů u maturity a přijímacích zkouškách na VŠ a otestujte svoji připravenost.


E. Hodnocení výsledků a komunikace učitelem (tutorem)

Vytisknout certifikat

Hodnocení výsledků:

Komunikace s učitelem (tutorem):

Tato část je určena pouze pro registrované uživatele. Zaregistrujte se!