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Text File | 1994-04-04 | 36.8 KB | 1,299 lines

Diese Datei enthält eine Dokumentation für das Programm MATHEPROFI Version 3.5 . Sie wird in das Online - Hilfesystem dieses Programmes eingebunden. Deshalb ist es erforderlich, daß sich diese Datei im aktuellen Verzeichnis befindet. Einleitung ========== MATHEPROFI ist ein umfangreiches, leistungsfähiges Mathematikpaket, das Ihnen in Zukunft bei Ihrer mathematischen Arbeit eine sehr wirksame Hilfe sein wird. Mit MATHEPROFI können sie ein enorm breit- gefächertes Spektrum der Mathematik, von einfachen Rechnungen,die z.B. ein sehr präziser Taschenrechner ausführt, über eine Vielzahl von Aufgaben aus der Schulmathematik (wie z.B. das Auflösen von Gleichungssystemen, das Ableiten einer Funktion - in MATHEPROFI sogar analytisch (symbolisch) - oder eine ganze Kurvendiskussion) bis hin zu Themen aus der höheren Mathematik (wie z.B. das Simplexverfahren, Eigenwerte oder Verteilungsberechnungen) in einem Arbeitsgang - ohne das umständliche Wechseln zu verschiedenen Programmen - erledigen. MATHEPROFI vereint ungewöhnlich leistungsfähige Mathematik-Routinen mit einer außerordentlichen Be- nutzerfreundlichkeit, die die vorliegende Doku- mentation eigentlich überflüssig macht. Sollten sie sich doch einmal über die Benutzung eines Befehls nicht ganz im klaren sein, so kann problemlos mit der <F1>- Taste aktuelle Hilfe angefordert werden. MATHEPROFI entstand im Laufe meines Mathestudiums, bei dem ich immer wieder neue Algorithmen zum Lösen bestimmter Probleme beschaffte oder zum großen Teil auch selber ausdachte. Diese - mit der Zeit beträchtliche - Routinensammlung wurde dann von mir in ein Ganzes integriert. MATHEPROFI richtet sich an all diejenigen, die sich mit den verschiedensten Aufgaben auf dem Gebiet der Mathematik beschäftigen wollen oder auch sollen. So kann ein Schüler mit Hilfe von MATHEPROFI seine Hausaufgaben korrigieren, was - allein schon durch das Beschäftigen mit dem Stoff - einen Lerneffekt nach sich zieht. Gleiches trifft auch für einen Studenten der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fachrichtung zu, da in MATHEPROFI auch Themen der höheren Mathe- matik behandelt werden. Aber auch für (Hochschul-) Lehrer ist dieses Programm gleichermaßen interessant, da man mit MATHEPROFI neue Aufgaben ausarbeiten oder einfach nur die Klausurergebnisse mühelos statistisch auswerten kann. MATHEPROFI ist ein Programm auf Shareware - Basis. Falls Sie also nach Prüfung des Programms in Zukunft damit arbeiten möchten, müssen Sie sich gegen eine geringe Gebühr von 40 DM auf das Konto von Udo HAIBER bei der Deutschen Bank Konto-Nr. 201285 BLZ 63070088 als registrierter Anwender eintragen lassen. Sie helfen dadurch mit, das Programm weiterzuentwickeln und erhalten außerdem folgende Leistungen : - Nutzungsrecht von MATHEPROFI (ohne Registrierung benutzen Sie das Programm unrechtmäßig) - Ein Handbuch in deutsch mit Beispielen - Preisnachlaß auf künftige Programmversionen - steuerlich abzugsfähige Rechnung Dateien auf der Diskette: ------------------------- INSTALLATION: INSTALL.EXE Installationsprogramm COMATHE.INI Farbdaten für Colorkarten BWMATHE.INI Farbdaten für S/W-Karten MATHEPROFI: MATHE.EXE Ausführbare Datei MATHE.OVR Overlay-Datei MATHE.INI Initialisierungsdatei (enthält die Farbdaten und das Datendirectory) MATHE.DOC Diese Datei Hilfe zur Farbeinstellung: FARBEN.EXE Zur individuellen Farbgestaltung von MATHEPROFI Beispiele: *.MAT Matrizen *.SIM Simplexdaten *.NET Graphentheoriedaten *.IPL Interpolationsdaten *.SPL Stichprobendaten *.KAT Kategoriedaten (für Stichproben) TERM1.DAT Funktionen in einer Variablen TERM2.DAT Funktionen in zwei Variablen Installation: ------------- Um MATHEPROFI auf Ihrer Festplatte zu installieren, benutzt man am sinnvollsten des Programm INSTALL.EXE . Dabei muß man folgendermaßen vorgehen: > A: Wechseln in Laufwerk A: > INSTALL Start des Installationsprogramms INSTALL.EXE erledigt für Sie folgende Schritte: -Anlegen eines Verzeichnisses > mkdir [gewünschtes Verzeichnis] -Anpassung von MATHE.INI an Farb- bzw. B/W-Karten: > copy COMATHE.INI MATHE.INI <RETURN> bzw. > copy BWMATHE.INI MATHE.INI <RETURN>) -Kopieren der erforderlichen Dateien: > copy MATHE.* c:\[gewünschtes Verzeichnis] <RETURN> > copy FARBEN.* c:\[gewünschtes Verzeichnis] <RETURN> -Kopieren der Beispieldateien Es ist sinnvoll ein Unterverzeichnis (z.B. [gewünschtes Verzeichnis]\DAT) anzulegen, wo ggf. gespeicherte Daten, wie z.B. eine Matrix oder eine Funktionstabelle, abgelegt werden können. Bem.:Dieses Datenverzeichnis kann in MATHE.INI stan- dardmäßig eingestellt werden! Der Zeitraum nach dem der Bildschirmschoner aktiviert werden soll, kann ebenfalls dort eingetragen werden. Schließlich muß nur noch der zu verwendende Druckertyp dort eingetragen werden. Mögliche Druckertypen sind: dot die meisten 24-Nadeldrucker pcl PCL-fähige Drucker, wie Laser oder Tinten- strahler Starten: -------- Um MATHEPROFI zu starten, sollten Sie sich im Verzeichnis der Datei 'MATHE.EXE' befinden. Der Start erfolgt dann durch > mathe <RETURN> Danach erscheint das Programm-Logo. Durch betätigen einer beliebigen Taste gelangt man in die Programmoberfläche. 0. Allgemeines ============== Themen und Befehle ------------------ Um einen Befehl von dieser Oberfläche zu starten, halten sie die <ALT>-Taste niedergedrückt und wählen Sie den zugehörigen (verändert dargestellten) Buchstaben. z.B. Befehl: ChDir --> <ALT><D> Analysis --> <ALT><A> Ist eine Maus installiert, so erzielen Sie durch einfaches anklicken des Befehls dasselbe Ergebnis. Folgende Befehle stehen zur Verfügung: - Analysis - Numerik - Lineare Algebra - Operations Research - Statistik - Sonstiges Durch diese Befehle kommt man in die verschiedenen Programmteile, welche unten ausführlich beschrieben sind. - Clear [ Löscht die Oberfläche ] - ChDir [ Um das Verzeichnis für die ge- speicherten Daten zu wechseln. ] - Quit [ MATHEPROFI wird beendet ] Fenster und Dialogführung ------------------------- Der Ausstieg aus einem aktiven Fenster ist immer mit <ESC> möglich oder durch einen Klick in den dafür vorgesehenen Bereich an der linken oberen Ecke des Fensters durch die Maus. Fenster lassen sich über den Bildschirm bewegen, so daß eventuell verborgene Textteile sichtbar gemacht werden können: Mit der... Tastatur : <CTRL F5> um Shifting zu aktivieren. Danach Pfeiltasten (im Grafikmodus auch <CTRL>-Pfeiltasten für größere Sprünge) zum Positionieren benutzen. Mit <ESC> wird eine Veränderung während des Shiftings rückgängig gemacht. Maus : Mauscursor auf die Oberkante des Fen- sters bewegen und mit der linken Maus- taste das Shifting aktivieren. Eine Positionierung des Fensters ist solange möglich, wie die linke Maustaste nieder- gehalten bleibt. Muß MATHEPROFI länger als eine Minute auf den näch- sten Befehl oder auf eine Eingabe warten, so wird der integrierte Bildschirmschoner aktiviert. Nach einer beliebigen Aktion ( Maus oder Tastatur ) er- scheint der zuvor gespeicherte Bildschirm wieder. Auswahl eines Funktionsterms ---------------------------- Der Term darf nur folgende Symbole enthalten : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pi x y ( ) + - * / ^ exp ln sinh cosh sin cos arctan sqr sqrt abs sgn gauss po ne fak - Geben Sie den gewünschten Term in der üblichen Computer-Notation (z.B. 'sin(cos(5*x+3))') ein. - Durch den Button mit der Aufschrift 'Laden' ist es möglich auf die letzten 10 Funktionsterme zurückzugreifen. 1. Analysis =========== In diesem Programmteil kann man verschiedenste Funktionentypen graphisch darstellen und anschliesend - zumindest bei reellwertigen Funktionen einer Variablen, d.h. also bei Funktionen wie sie in der Schule behandelt werden - eine Kurvendiskussion durchführen. Zuvor muß man folgende Angaben machen: - Dimension des Urbildraumes: Entspricht der Anzahl der Variablen, d.h. 1 --> f(x) = ... 2 --> f(x,y) = ... - Dimension des Bildraumes: 1 --> f(x[,y]) = Zahl 2 --> f(x[,y]) = 2-Tupel 3 --> f(x[,y]) = 3-Tupel - Urbildraum mit abbilden ? Ok: (<ALT><O> oder <Return>) Das Tupel ( x [,y] , f(x[,y]) ) wird gezeich- net. Das heißt der GRAPH einer Funktion. Cancel: (<Alt><C>) Das Tupel ( f(x[,y]) ) wird gezeichnet. Das heißt das BILD einer Funktion Bsp.: +--------------------------------------------------------------+ | Urbild Bild Urbild abbilden | |--------------------------------------------------------------| |1) Normale (Schul-) | | Funktion | | f(x)=2*x 1 1 <J> | |--------------------------------------------------------------| |2) "Gebirgefunktion" | | f(x,y)=x*y 2 1 <J> | |--------------------------------------------------------------| |3) Kurve im R² | | f(x)=( cos(x) , sin(x) ) 1 2 <J> oder <N> | |--------------------------------------------------------------| |4) Kurve im R^3 | | f(x)=( cos(x) , | | sin(x) , 2*x) 1 3 <N> | |--------------------------------------------------------------| |5) Fläche im R² | | f(x,y)=( x*y , x+y ) 2 2 <N> | |--------------------------------------------------------------| |6) Fläche im R^3 | | f(x,y)=( x^2 , y-x , | | sin(x*y) ) 2 3 <N> | +--------------------------------------------------------------+ Nach Auswahl der Dimensionen, erscheint eine Graphikoberfläche inklusiv der geplotteten Funktion. Am rechten Rand erscheint ein Fenster mit den Einheiten: z.B. x: 2.50*10^-2 d.h. Der Abstand der Einheitsstriche auf der x- Achse beträgt 0.025 Um einen Befehl von der Befehlsleiste (oben) aus- zuführen, gilt dasselbe wie im Hauptprogramm. 1.1 Neu 1.1.1 Zeichnen Dieser Befehl plottet die Funktion neu. Dies ist immer dann sinnvoll, wenn sich die Voraussetzungen - z.B. neue Intervallgrenzen, andere Parameter,... - geändert haben. Eine solche Änderung wird durch das Symbol '*' innerhalb der Befehlsleiste gekenn- zeichnet. 1.1.2 Andere Kurven wählen Kurve mischen: Nach Auswahl einer weiteren Funktion desselben Typs, ist MATHEPROFI in der Lage mehrere Funktionen in ein Schaubild einzutragen. Dies wird erreicht durch den Befehl NEU.ZEICHNEN (s.o.). Alte Kurve(n) löschen: Nach Auswahl einer neuen Funktion, werden alle zuvorgespeicherten Funktionen gelöscht. Bem.:Will man den Typ einer Funktion (d.h. Dimensionen) ändern, so ist dies nur vom Hauptprogramm aus möglich. 1.1.3 Aktuelle Funktion wählen Haben Sie gleichzeitig mehrere Funktionen ausgewählt (s.o.), so kann man hier eine dieser Funktionen als AKTUELL auszeichnen. Die aktuelle Funktion dient als Grundlage für sämtliche Berechnungen, wie z.B. Null-, Extrem- und Wendestellen, aber auch für die Bestimmung automatischer Achsen. 1.2 Achsen Hier lassen sich die zum Plotten relevanten Inter- valle ( = zulässige Bereiche für die Variablen ) verändern, d.h. also der Urbildbereich. Außerdem läßt sich der zu betrachtende Bereich der Achsen ändern, d.h. also die Bildmenge. Achtung:Damit Ihre Änderung im BILD wirksam wird, muß vor dem Plotten der AUTOMATIK-Schalter im Statusfeld auf AUS ([ ]) stehen. 1.3 Status - x-Feinheit: Soviele Funktionswerte werden im x-Intervall berechnet. D.h. je größer der Wert, desto besser wird die Auflösung, aber auch desto länger dauert der Plot. - y-Feinheit: Analog, nur für das y-Intervall - Gitterdichte: Der Abstand zweier Gitterpunkte beträgt soviele Einheiten: Intervall=[a,b] => Gitterdichte*(b-a)/x-Feinheit D.h. je größer der Wert, desto gröber ist das Gitter. - Winkel der Projektion: Durch diesen Wert kann die Ansicht verändert werden: groß => von oben klein => von unten - Transparenzfeinheit: Qualitätsmß für undurchsichtige Flächen. Je höher, desto besser, aber auch desto rechenaufwendiger !! - Automatikschalter: [√] In diesem Modus wird das (werden die) Bild- intervall(e) automatisch berechnet. [ ] In diesem Modus muß der Benutzer die Inter- valle selbst einstellen. - Gitterschalter: [√] Funktion wird als Gittergraphik dargestellt. [ ] Funktionsgraph setzt sich nur aus Punkten zusammen. - Transparentschalter: [√] Die entstehende Fläche ist "durchsichtig", d.h. auch dahinterliegende Teile sind sicht- bar. [ ] Die entstehende Fläche ist "undurchsichtig", d.h. dahinterliegende Teile sind unsichtbar. ==> großer Rechenaufwand !! Bem.:Dieser Schalter ist nur funktionstüchtig bei Vorderansicht. - Zweifarbigschalter: [√] Die entstehende Fläche hat eine helle Ober- seite und eine dunkle Unterseite. [ ] Die entstehende Fläche wird einfarbig dar- gestellt. Bem.:Dieser Schalter ist nur funktionstüchtig bei ausgeschalteter Transparenz. - Ansichtschalter: Dieser Schalter legt fest, ob man von vorne, von rechts der von oben in das Koordinatensystem hineinschaut. Das Koordinatensystem am rechten Bildrand gibt an wie die x-,y- bzw. z-Achse liegen. 1.4 Diskussion 1.4.1 Beliebige Werte Nach Eingabe eines x-Wertes (ggf. auch noch ein y- Wert) wird der zugehörige Funktionswert berechnet und ausgegeben. 1.4.2 Nullstellen Nach Eingabe eines Intervalles, werden alle reellen Nullstellen der aktuellen Funktion in diesem Intervall berechnet und ausgegeben. Der Prozentsatz am unteren Rand gibt an, wie weit das Intervall bereits abgearbeitet ist. 1.4.3 Extremstellen Nach Eingabe eines Intervalles, werden alle Extremstellen der aktuellen Funktion in diesem Intervall berechnet und ausgegeben. Der Prozentsatz am unteren Rand gibt an, wie weit das Intervall bereits abgearbeitet ist. Bem.:Es ist empfehlenswert diese Untersuchung nicht auf konstante Funktionen anzuwenden. 1.4.4 Wendestellen Nach Eingabe eines Intervalles, werden alle Wendestellen der aktuellen Funktion in diesem Intervall berechnet und ausgegeben. Der Prozentsatz am unteren Rand gibt an, wie weit das Intervall bereits abgearbeitet ist. Bem.:Es ist empfehlenswert diese Untersuchung nicht auf lineare Funktionen anzuwenden. 1.5 Koordinaten Nach Aufruf dieser Funktion wird der Mauscursor an den Mittelpunkt des Grafikfensters positioniert. Gleich- zeitig verändert sich die Gestalt zu einem Kreisring. Nun lassen sich die Koordinaten im Maßstab der geplot- teten Funktion rechts unten ablesen. Um diese Funktion wieder zu verlassen muß nur der linke Mausknopf ge- drückt werden. Diesen Menuleisteneintrag gibt's nur bei zweidimensio- nalen Koordinatensystemen. 1.6 Rotation Dieser Menupunkt ermöglicht das beliebige Drehen des dreidimensionalen Achsenkreuzwürfels um seinen Schwer- punkt, samt der beinhalteten Funktionen. Die Gesamtdrehung setzt sich aus drei nacheinander ausgeführten Einzeldrehungen um die Koordinatenachsen zusammen. Und zwar in folgender Reihe: z,x,y-Achse. Ein kleines Koordinatenkreuz links oben erläutert die aktuelle Lage. Die Winkeleingabe erfolgt mit der Maus durch Anklicken von +- der jeweiligen Achse, sodaß der augenblickliche Winkel - um die in STEP eingestellte Schrittweite - inkrementiert bzw. dekrementiert wird. Mit der Tastatur erreicht man dasselbe Ergebnis durch die Tasten x,y,z bzw. durch die Tastenkombinationen ALT x,y,z. RESET setzt alle Winkel auf Null und PLOT zeichnet die ausgewählten Funktionen. Bem.: Bevor diese Funktion aufgerufen wird sollte '*' in der Menuleiste verschwunden sein. 1.7 Print Nach Eingabe der ganzzahligen Vergößerungsfaktoren wird die Grafik auf dem in MATHE.INI eingestellten Druckertyp (siehe Installation) ausgedruckt. 2. Numerik ========== 2.1 Romberg Integration ----------------------- Der Wert des orientierten Flächeninhaltes wird gemäß der Methode von Romberg für eine beliebig eingegebene Funktion berechnet. Wird während der Auswertung über einen unzulässigen Bereich integriert, so erscheint zusätzlich eine Fehlermeldung. 2.2 Numerische Differentiation ------------------------------ Der Wert der ersten zwei Ableitungen einer beliebig eingegebenen Funktion an einer fest gewählten Stelle x wird berrechnet. Erscheint eine Fehlermeldung, so ist das dennoch angezeigte Ergebnis zumeist falsch. 2.3 Analytische Differentiation ------------------------------- Nach Eingabe bzw. Auswahl einer beliebigen, differenzierbaren Funktion, erscheint der Term der 1. Ableitung (dieser ist meistens noch nicht vollständig vereinfacht ). Es besteht die Möglichkeit (über SAVE) diese Ab- leitung in die Funktionenliste aufzunehmen. Dadurch kann man diese Ableitung wieder ableiten (=> 2. Ableitung). Es empfiehlt sich jedoch, vorher die 1. Ableitung "von Hand" zu vereinfachen, damit die 2.Ab- leitung nicht allzu lang wird. ( Die Länge eines Funktionsterms ist auf 255 Zeichen beschränkt. ) 2.4 Interpolation ----------------- Nach Eingabe der Koordinaten - durch die das Polynom gehen soll - hat man die Wahl, ob man das ganze Interpolationspolynom (Dividierte Differenzen) oder nur den Wert des Polynoms an einer Stelle (Neville) will. Die Eingabe der Daten erfolgt über eine ASCII-Datei mit fester Struktur: ----------------------------------- x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . . . . . ---------------------- *.IPL ------ 2.5 Taylorentwicklung --------------------- Nach Eingabe bzw. Auswahl einer Funktion und eines Entwicklungspunktes, der die Mitte des betrachteten Intervalls darstellt, muß man den Radius des Intervalls angeben. Als Lösung erscheint dann eine Gerade (incl. Abweichung), die die Funktion auf obigem Intervall approximiert. 3. Lineare Algebra ================== 3.1 Matrix speichern -------------------- Mit dieser Funktion ist es möglich das Ergebnis der letzten Operation ( Verknüpfung, Inverse oder Ortho- gonalisierung) auf einen Datenträger zu speichern. 3.2 Produkt, Summe, Skalarmultiplikation ---------------------------------------- Mit Hilfe dieser Funktion lassen sich beliebige Ausdrücke der Art α*A1*...*An + ... + ß*B1*...Bn berechnen. Treten dabei noch quadratische Matrizen auf, so kann man diese auch potenzieren. [ Es gilt die Regel: Punkt vor Strich ] 3.3 Inverse ----------- Nach Eingabe der Matrixdimension (nur quadratische Matrizen möglich) und der zu invertierenden Matrix, erscheint die invertierte Matrix als Produkt aus 1 -1 1 ----- * B , mit B = ----- * A . det(A) det(A) 3.4 Determinante ---------------- Nach Eingabe der Dimension und der Matrix (nur quadratische Matrizen möglich), erscheint das Ergebnis. 3.5 Eigenwerte -------------- Bestimmt alle Eigenwerte der Matrix A. Ein Eigenwert µ ist eine Nullstelle von det ( A - µ*E ) [ E = Einheitsmatrix ] . Nach Eingabe der Dimension und der Matrix ( nur quadratische Matrizen erlaubt ) erscheinen alle Eigenwerte (auch die komplexen) gemäß ihrer algebraischen Vielfachheit. 3.6 Orthogonalisierung nach Schmidt ----------------------------------- Dieses Verfahren orthogonalisiert vorgegebene Vektoren (x1, ... ,xn) beliebiger Dimension (einzugeben als Matrix), sodaß sich der von den Vektoren aufgespannte Raum nicht nicht ändert. D.h. eine Basis wird in eine OG-Basis umgewandelt. Das Ergebnis läßt sich durch 3.1 abspeichern. 3.7 Lineare Gleichungssyteme ---------------------------- Berechnet die Lösungsgesamtheit von linearen Gleichungssystemen: a11*x1 + ... + a1n*xn = b1 . . . . . . am1*x1 + ... + amn*xn = bm Nach Eingabe der Koeffizientenmatrix A und des Vektors b erscheint eine spezielle Lösung x und der Kern der Matrix A: (v1,..,vp) Die Lösungsgesamtheit erhält man, indem man alle Kombinationen x + α1*v1 + ... + αp*vp betrachtet. 3.8 Kernbestimmung ------------------ Nach Eingabe der zu betrachtenden Matrix, erscheint eine Basis des Kerns (aus Zeilenvektoren) , wobei der Kern wie folgt definiert ist: Ker(A) := { xεRⁿ | Ax=0 } 3.9 Bildbestimmung ------------------- Nach Eingabe der zu betrachtenden Matrix, erscheint eine Basis des Bildes (aus Zeilenvektoren) , wobei das Bild definiert ist als der kleinste Unterraum der alle Spaltenvektoren der Matrix enthält, d.h. Im(A) := { Ax | xεRⁿ } 4. Operations Research ====================== 4.1 Einphasiger Simplex ----------------------- Bestimmt eine optimale Lösung eines linearen Optimierungsproblems der Form: c'x --> min Ax ≤ b (b≥0) x ≥ 0 und gibt auf Wunsch alle Simplextableaus aus. Die Eingabe der Daten erfolgt durch eine ASCII Datei, wobei die Struktur dieser Datei fest vorgegeben ist: -------------------------------------- c1 c2 ... cn a11 a12 ... a1n b1 . . . . . . . . am1 am2 amn bm --------------------------- *.SIM ---- Außerdem müssen Angaben zur Dimension des Problems gemacht werden. Anschließend erscheint das erste Simplextableau auf der Oberfläche: +---------------------------+ | Nicht - Basis - Indices | +----+---------------------------+---------+ |BA | Umrechnungsfaktoren |Basis- | |SIS | |Variable | +----+---------------------------+---------| |negative reduzierte Kosten |Zielwert | +-------------------------------------+ Durch Pfeil-, Bild- und Positionstasten ist es möglich evtl. verdeckte Teile des Tableaus anzuschauen. Nach betätigen der <ESC>-Taste, muß man das Format der Zahlendarstellung im nächsten Tableau eingeben und wieviel Tableaus weiter gesprungen werden soll. 4.2 Zweiphasiger Simplex ------------------------ Bestimmt eine optimale Lösung eines linearen Optimierungsproblems der Form: c'x --> min Ax = b (b≥0) x ≥ 0 und gibt auf Wunsch alle Simplextableaus beider Phasen aus. Die Eingabe der Daten erfolgt durch eine ASCII Datei, wobei die Struktur dieser Datei fest vorgegeben ist: -------------------------------------- c1 c2 ... cn a11 a12 ... a1n b1 . . . . . . . . am1 am2 amn bm --------------------------- *.SIM ---- Außerdem müssen Angaben zur Dimension des Problems gemacht werden. Anschließend erscheint das erste Simplextableau auf der Oberfläche: +---------------------------+ | Nicht - Basis - Indices | +----+---------------------------+---------+ |BA | Umrechnungsfaktoren |Basis- | |SIS | |Variable | +----+---------------------------+---------| |negative reduzierte Kosten |Zielwert | +-------------------------------------+ Durch Pfeil-, Bild- und Positionstasten ist es möglich evtl. verdeckte Teile des Tableaus anzuschauen. Nach betätigen der <ESC>-Taste, muß man das Format der Zahlendarstellung im nächsten Tableau eingeben und wieviel Tableaus weiter gesprungen werden soll. Bem.: Diese Form eines linearen Programms stellt keine Einschränkung mehr dar, da man jedes lineare Programm -- ggf. unter Vergrößerung der Dimen- sionen -- auf obige Form bringen kann. (Siehe Handbuch Kapitel 5.2) 4.3 Austauschschritt -------------------- Hier ist es möglich ein Simplextableau selbst zu transformieren, indem man das zu wählende Pivotelement angibt. ACHTUNG:Die Struktur der Eingabedatei unterscheidet sich hier von der oben erwähnten: (Nx,Bx ganze Zahlen in {1,2,...n+m} ) ------------------------------------------ N1 N2 ... Nn B1 a11 a12 ... a1n x1 . . Bm am1 am2 ... amn xm r1 r2 rn cx ------------------------------- *.SIM ---- 4.4 Kürzeste Wege ------------------ Mit dieser Funktion kann man kürzeste Wege von einem Startpunkt zu allen anderen Knoten in einem Graphen berechnen. Zunächst erfolgt die Eingabe eines bewerteten Di- graphen mittels einer ASCII-Datei folgender Gestalt: - Auflistung der Knotennamen getrennt durch Leerzeichen oder CR/LF. Der erste Namen wird als Startpunkt der kürzesten Wege interpretiert. - Eine Leerzeile als Abschluß der Knoten- eingabe. - Eine Musterzeile mit den Bezeichnern "von", "nach", "cost" . Bem.: i) Wird "cost" weggelassen, so werden die Kosten aller Kanten auf Eins gesetzt. ii) "cap" in der Musterzeile wird für diese Anwendung ignoriert. - Für jede Kante eine Datenzeile. Diese besteht aus 2 Knotennamen und einer Kostenangabe (falls "cost" in der Musterzeile steht). z.B.: Kürzester Weg von Hamburg zu allen an- deren angegebenen Städten (vgl. WEG.NET) +-------------------------------------------+ | Hamburg Dresden München | | Frankfurt Berlin Stuttgart Bremen | | | | von nach cost | | Hamburg Berlin 289 | | Hamburg Dresden 516 | | Berlin Frankfurt 555 | | ... ... ... | | Frankfurt Bremen 466 | +-------------------------------------------+ Anschließend erscheint eine Oberfläche mit allen Knotennamen. Nach Auswahl eines Namens wird der kürzeste Weg zu diesem Knoten angezeigt. Um diesen Vorgang zu wieder- holen muß eine beliebige Taste gedrückt werden. 4.5 Maximale (kostenminimale) Flüsse ------------------------------------ Mit dieser Funktion kann man einen maximalen Fluß in einem Kapazitätendigraphen von einer Quelle zu einer Senke berechnen. Ist der Graph zusätzlich be- wertet, so ist der berechnete Fluß automatisch der kostenminimale (unter allen Flüssen dieser Stärke). Zunächst erfolgt die Eingabe eines ( bewerteten ) Kapazitätendigraphen mittels einer ASCII - Datei folgender Gestalt: - Auflistung der Knotennamen getrennt durch Leerzeichen oder CR/LF. Der erste Namen wird als Quelle, der letzte als Senke interpretiert. - Eine Leerzeile als Abschluß der Knoten- eingabe. - Eine Musterzeile mit den Bezeichnern "von", "nach", ("cost") , "cap" . Bem.: Wird "cost" weggelassen, so werden die Kosten aller Kanten auf Eins gesetzt. - Für jede Kante eine Datenzeile. Diese besteht aus 2 Knotennamen und einer Kapazitätenangabe. Falls "cost" in der Musterzeile steht, so muß noch eine Kostenangabe folgen. z.B.: Wie bekommt man an einem Tag am meisten Erdöl von Hamburg nach Stuttgart durch ein Pipelinesystem zwischen unten genannten Städten. Die Angaben unter "cap" bedeuten: maximal 150 liter/sec können von Hamburg nach Berlin fließen. (vgl. FLUSS.NET) +-------------------------------------------+ | Hamburg Dresden München | | Frankfurt Berlin Bremen Stuttgart | | | | von nach cap | | Hamburg Berlin 150 | | Hamburg Dresden 128 | | Berlin Frankfurt 350 | | ... ... ... | | Frankfurt Bremen 111 | +-------------------------------------------+ Anschließend muß man die gewünschte Flußstärke angeben. Will man den maximalen Fluß, so ist dies mit <RETURN> zu erreichen. Danach (kann eine Weile dauern !) wird der berechnete optimale Fluß ausgegeben. 4.6 Topologisches Sortieren --------------------------- Diese Funktion bestimmt einen topologische Ecken- sortierung. D.h. ist (u,v) eine Kante, so gilt u ≤ v. Dies wird häufig in folgender Weise interpretiert: - Die Ecken des Graphen stellen Vorgänge dar - Eine Kante von u nach v bedeutet, daß Vorgang u beendet sein muß, bevor man mit Vorgang v beginnen kann. - Eine topologische Sortierung ist dann eine mögliche zeitliche Abfolge der Vorgänge. Zunächst erfolgt die Eingabe eines zyklenfreien Graphen mittels einer ASCII-Datei folgender Gestalt: - Auflistung der Knotennamen getrennt durch Leerzeichen oder CR/LF. Die Reihenfolge der Knoten spielt hier keine Rolle. - Eine Leerzeile als Abschluß der Knoten- eingabe. - Eine Musterzeile mit den Bezeichnern "von", "nach". Bem.: Die Bezeichner "cost" und "cap" werden in dieser Anwendung ignoriert. - Für jede Kante eine Datenzeile. Diese besteht aus 2 Knotennamen. z.B.: In welcher Reihenfolge sollte man sich Ankleiden ? (vgl. SORT.NET) +-------------------------------------------+ | Schuhe Unterwäsche Jacke Socken | | Uhr Hose Gürtel Hemd Krawatte | | | | von nach | | Unterwäsche Hosen | | Hemd Krawatte | | Hemd Gürtel | | ... ... | | Krawatte Jacke | +-------------------------------------------+ Danach wird die berechnete Eckenordnung ausgegeben. 5. Statistik ============ 5.1 Fakultät ------------ Berechnet die Fakultät einer vorzugebenden Zahl. n! =2 * 3 * 4 ... (n-1) * n =Anzahl aller möglichen Permutationen von n Ob- jekten 5.2 Binomialkoeffizient ----------------------- Berechnet den allgemeinen Binomialkoeffizient: / α \ α * (α-1) * ... * (α-k+1) = -------------------------- \ k / k! wobei α eine reelle Zahl sein darf. 5.3 Kombinatorik ---------------- Berechnet für die verschiedenen Modelle ( Zurücklegen, Anordnung ) alle Möglichkeiten aus einer Urne mit n Kugeln, k herauszuziehen. Bsp.: n=49, k=6 , ohne Zurücklegen, ohne Anordnung. ==> Lottomodell 5.4 Dichten und Verteilungen ---------------------------- Ermöglicht die Auswertung verschiedenster diskreter und stetiger Dichten bzw. Verteilungen an einem vorgegebenen Wert. Nach Aufruf dieser Prozedur erscheint eine Auswahl der möglichen Verteilungen. Erläuterungen zu den verschiedenen Verteilungen erscheinen erst nach Eingabe evtl. vorhandener Parameter. 5.5 Stichproben --------------- Ermöglicht die Auswertung einer Stichprobe hinsichtlich Erwartung, Varianz und erstellt auf Wunsch ein Histogramm. 5.5.1 Eingabe Eingabe der neuen Stichprobendaten. Eventuell vorhandene alte Daten werden gelöscht. 5.5.2 Neue Kategorien Hier können Stichprobenwerte in Kategorien eingeteilt werden. Diese Einteilung wird erforderlich, wenn ein Histogramm gezeichnet werden soll. 5.5.3 Parameter Es werden der (emp.) Stichprobenerwartungswert und die (emp.) Stichprobenvarianz für die aktuelle Stichprobe berechnet. 5.5.4 Histogramm Graphische Darstellung der relativen Häufigkeit mit der eine Kategorie von den Stichprobenwerten belegt ist. Bsp.: 20% über der 1.Säule bedeutet: 20% der Stichprobenwerte liegen in Kategorie 1 6. Sonstiges ============ 6.1 ggT und kgV --------------- Es werden der größte gemeinsame Teiler bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache beliebig vieler Zahlen berechnet. 6.2 Primfaktorzerlegung ----------------------- Nach Eingabe einer natürlichen Zahl werden alle Primteiler ausgegeben. 6.3 Bruchrechnen ---------------- Beliebige Brüche können multipliziert und addiert werden, wobei die Regel : Punkt vor Strich gilt. Das Ergebnis erscheint in gekürzter Form! Bem.:Im Zähler bzw. Nenner eines Bruchs können nur ganze Zahlen stehen! 6.4 Endliche Summen ------------------- Nach Eingabe des Summationsbereiches und der (von x abhängigen) Summanden (Funktion), wird der Wert der Summe ausgerechnet. 6.5 Komplexe Zahlen ------------------- Beliebige komplexe Zahlen können multipliziert, divi- diert und addiert werden, wobei die Regel : Punkt vor Strich gilt. Das Ergebnis erscheint in kartesischer und polarer Koordinatendarstellung. Bem.: Bei der Eingabe einer komplexen Zahl kann man zwischen beiden Darstellungen auswählen. Außerdem können auf die eingegebene Zahl noch verschiedene Funktionen angewendet werden. 6.6 Taschenrechner ------------------ Nach Aufruf dieser Prozedur erscheint ein 'Taschenrechner' auf der Oberfläche. Die Funktionsweise ist analog zu marktüblichen Rechnern, wobei in <.> die Computertaste angegeben wird, die die entsprechende Funktion des Taschenrechners in Gang setzt. Selbes erreicht man mit einer Maus durch anklicken der Funktion. 6.7 Langzahlarithmetik ---------------------- Diese Prozedur implementiert die 4 Grundrechenarten mit 'beliebieger' (nur durch die Speicherkapazität des Rechners begrenzt) Genauigkeit. 6.7.1 Addition und Multiplikation Beliebig lange (ganze) Zahlen können addiert bzw. multipliziert werden, wobei die Regel 'Punkt vor Strich' gilt. Die Eingabe einer Langzahl wird durch <RETURN> abgeschlossen. 6.7.2 Division Zwei beliebig lange (ganze) Zahlen können dividiert werden, unter Angabe der gewünschten Anzahl an Nachkommastellen. Die Eingabe einer Langzahl wird durch <RETURN> abgeschlossen. 6.7.3 Fakultät Es wird die Fakultät einer Zahl exakt berechnet.