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Text File  |  1996-10-09  |  2.2 KB  |  53 lines
  1. Lyapunov
  2. --------
  3. This function is a development of the Verhulst equation (similar to the
  4. Bifurcation algorithm) used to model population growth. The Lyapunov
  5. exponent is the average of the population size over a series of iterations.
  6. In the display the x and y axis represent different rates of growth. For
  7. each pixel the Lyapunov exponent is calculated, using the x or y value each
  8. iteration. Which value of x or y is chosen is set by the Sequence variable:
  9.  
  10.   xyx - means use x, then y, then x, then repeat the sequence.
  11.  
  12. The algorithm used is as follows:
  13.   
  14.   x=initial population, usually 0.5, but between 0 and 1
  15.   for i=1 TO initial_iteration_limit
  16.     R=x or y depending on sequence
  17.     x=R*x*(1-x)
  18.   next
  19.   L=0
  20.   for i=1 TO iteration-limit
  21.     R=x or y depending on sequence
  22.     x=R*x*(1-x)
  23.     r=R*(1-x-x)
  24.     L=L+LOG(ABS(r))
  25.   next
  26.  
  27. The value of L is used to set the screen colour. Solid areas tend to be
  28. those where the value of x remains stable (negative L), whereas dotted areas
  29. tend to be chaotic ones.
  30.  
  31. The data panel lets you set the values of the iteration limits, the initial
  32. population and the sequence of x or y values. Note that the value of x and y
  33. (ie. R) must lie within the range 0 to 4, with the range 3 to 4 usually
  34. providing the best values.
  35.  
  36. To change the shape of the image use different x/y sequences - use the menu
  37. to select different preset images as a starter. To see the image at its best
  38. you will need to experiment with different palettes, such as the Lyapunov
  39. ones. Full 256 colours helps a lot since it is difficult to get a good
  40. palette using the RiscOS fixed palette. Interesting 3d effects are possible.
  41.  
  42. The image takes quite a while to generate even though fast integer maths is
  43. used throughout. From the menu you can choose between 16 and 32 bit maths.
  44. Use the latter for better image quality with some loss of speed. You will
  45. find that the amount of zooming is fairly limited but in general this does
  46. not matter since detailed close ups tend to repeat the overall picture.
  47.  
  48. You can use Lyapunov with 3d and Riemann sphere plotting methods.
  49.  
  50. For more information see the article "Leaping Into Lyapunov Space" by
  51. A.K.Dewdney in the Scientific American Sept 1991 and Fractal Report 21 which
  52. gives a simple BBC Basic version.
  53.