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Text File  |  1993-03-11  |  2.6 KB  |  69 lines
  1. % CHEBDEM    Demonstrate the construction of a Chebyshev spline.
  2. % Copyright (c) 1990-92 by Carl de Boor and The MathWorks, Inc.
  3.                                      % latest change: September 28, 1990
  4. clg;clc;home;echo on
  5. % Try the construction of the Chebyshev spline  C_t(x)  as an example.
  6. % 
  7. % By definition, for given knot sequence  t in R^{n+k},  C_t  is the
  8. % unique element of  S_{t,k}  of max-norm 1  which maximally oscillates on
  9. % the interval  [t_k,t_{n+1}]  and is positive near  t_{n+1} . This means
  10. % that there is a unique strictly increasing  tau in R^n  so that the 
  11. % function  C in S_{k,t}  given by  C(tau(i))=(-)^{n-i} , all  i , has
  12. % max-norm 1 on  [t_k,t_{n+1}] . This implies that  tau(1) = t_k , 
  13. %  tau(n) = t_{n+1} , and that  t_i < tau(i) < t_{k+i} , all i .  In fact,
  14. %  t_{i+1} \le tau(i) \le t_{i+k-1} , all i . This brings up the point
  15. % that the knot sequence is assumed to make such an inequality possible,
  16. % i.e., the elements of  S_{k,t}  are assumed to be continuous.
  17. %
  18. %  In short, the Chebyshev spline  C  looks just like the Chebyshev poly-
  19. % nomial.  It performs similar functions. For example, its extrema  tau
  20. % are particularly good points to interpolate at from  S_{k,t}  since the
  21. % norm of the resulting projector is about as small as can be.
  22. %
  23.      pause;                          % touch any key to continue
  24.  
  25. %   In this example, we try to construct  C  for given knot sequence  t .
  26. %
  27. %   We deal with cubic splines, i.e., with order
  28. k = 4;
  29. %   and use the break sequence
  30. breaks = [0 1 1.1 3 5 5.5 7 7.1 7.2 8]; lb=length(breaks);
  31.  
  32.      pause;                          % touch any key to continue
  33.  
  34. % and use simple interior knots, i.e., use the knot sequence
  35. t = breaks([ones(1,k) 2:lb-1  lb*ones(1,k)])
  36.  
  37.      pause;                          % touch any key to continue
  38.  
  39. % thus getting a spline space of dimension
  40. n = length(t)-k
  41.  
  42.      pause;                          % touch any key to continue
  43.  
  44. %   As our initial guess for the  tau , we use the knot averages  
  45. %
  46. %           tau(i) = (t_{i+1} + ... + t_{i+k-1})/(k-1)
  47. %
  48. % recommended as good interpolation point choices.
  49.  
  50.      pause;                          % touch any key to continue
  51.  
  52. tau=aveknt(t,k)
  53. echo off
  54. e=zcheck(tau-[0 10 21 51 91 135 175 196 213 223 232 240]/30); echo on
  55.  
  56.      pause;                          % touch any key to continue
  57.  
  58. %  We plot the resulting first approximation to  C :
  59.  
  60. b=(-ones(1,n)).^[n-1:-1:0];
  61. c = spapi(t,tau,b);
  62. echo off;
  63. e=zcheck(b-fnval(c,tau));echo on;
  64. fnplt(c,'-.');pause
  65. grid;pause
  66. hold on;
  67.  
  68. chebloop
  69.