home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / physics / 23300 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-23  |  2.5 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:23300 alt.sci.physics.new-theories:2803
  2. Newsgroups: sci.physics,alt.sci.physics.new-theories
  3. Path: sparky!uunet!well!sarfatti
  4. From: sarfatti@well.sf.ca.us (Jack Sarfatti)
  5. Subject: Wavelets 22: more on coherent and squeezed states
  6. Message-ID: <C19s6I.Cut@well.sf.ca.us>
  7. Sender: news@well.sf.ca.us
  8. Organization: Whole Earth 'Lectronic Link
  9. Date: Fri, 22 Jan 1993 19:15:53 GMT
  10. Lines: 84
  11.  
  12.  
  13. 22. Consider the 3D Weyl-Heisenberg group space W1 for the 1D harmonic
  14. oscillator. The Lie algebra w1 has basis {-iX, -iP, -iI}. The canonical
  15. Glauber coherent states of the linear oscillator are eigenvectors |z> of
  16. the non-Hermitian (photon annihilation/creation) operator
  17.  
  18. A = X + iP    (206)
  19.  
  20. The Lie algebra w1 is real and must be complexified with a tensor product
  21. of it with the complex plane C.
  22.  
  23. w*1 = w1xC = w1 + iw1   (207)
  24.  
  25. Relation of coherent states to the windowed Fourier transforms:
  26.  
  27. Recall
  28.  
  29. h(p,x) = e^ipX e^-ixP h  (208)
  30.  
  31. where h is the window function.
  32.  
  33. In general if commutator [B,C] commutes with both B and C, the Baker-
  34. Campbell-Hausdorff (BCH) formula (important in Feynman's QED) reduces to
  35.  
  36. e^B e^C = e^[B,C]/2 e^(B+C)     (209)
  37.  
  38. [ipX,-ixP] = ipxI    (210)
  39.  
  40. h(p,x) = e^ipx/2 e^i(pX - xP) h        (210)
  41.  
  42. X = (A* + A)/2,  -iP = (A* - A)/2    (211 a&b)
  43.  
  44. z = x - ip  (212)
  45.  
  46. h(p,x) = e^ipx/2 e^{z*A* - zA}/2 h     (213)
  47.  
  48. Let B = z*A*/2, C = -zA/2
  49.  
  50. BCH implies
  51.  
  52. h(p,x) = e^(ipx/2 - |z|^2/4) e^z*A*/2 e^-zA/2  (214)
  53.  
  54. Use the Gaussian basic window
  55.  
  56. h(x') = Ne^-x'^2/2  (215a)
  57.  
  58. N = (2pi)^-1/4      (215b)
  59.  
  60. h(x') = |0>         (215c)
  61.  
  62. in which z = 0. The basic Gaussian window corresponds to the coherent
  63. quantum state centered at the origin of the classical phase space of the
  64. radiation oscillator.
  65.  
  66. Ah = 0          (216a)
  67.  
  68. e^-zA/2 h = h   (217b)
  69.  
  70. h(p,x) = e^(ipx/2 - |z|^2/4) e^z*A*/2 h  (218)
  71.  
  72. |z> =  e^z*A*/2 |0>  (219)
  73.  
  74. because A|0> = 0 and [A,A*] = 2I
  75.  
  76. A|z> = z|z>  (220)
  77.  
  78. The coherent state |z> is a shifted Gaussian centered at z = x + ip in
  79. classical phase space plane - its domain of effective area h (for
  80. significant probability like electron clouds in chemistry) is radially
  81. symmetric (circle) about the point z. The domain of a squeezed state is not
  82. radially symmetric.
  83.  
  84. The relation of the window translate in phase space to the coherent state
  85. is
  86.  
  87. h(p,x) => e^(ipx/2 - |z|^2/4) |z>   (221)
  88.  
  89. |h(p,x)><h(p,x)| = e^-|z|^2/4 |z><z|   (222)
  90.  
  91. Note that the window translate h(p,x) is a unitary shift of basic window h,
  92. but the operator e^z*A*/2 which shifts |0> to |z> is not unitary.
  93.  
  94. to be continued
  95.  
  96.