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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / physics / 23191 next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-21  |  2.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!olivea!hal.com!darkstar.UCSC.EDU!ucscb.UCSC.EDU!ask
  2. From: ask@ucscb.UCSC.EDU (Andrew Stanford Klingler)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: Re: Trouble understanding bra-ket notation
  5. Message-ID: <1jlhucINNrtj@darkstar.UCSC.EDU>
  6. Date: 21 Jan 93 07:04:44 GMT
  7. References: <31c31z=@rpi.edu> <1993Jan17.214117.27235@galois.mit.edu> <1jd41cINNdh4@gap.caltech.edu>
  8. Distribution: usa
  9. Organization: University of California, Santa Cruz
  10. Lines: 40
  11. NNTP-Posting-Host: ucscb.ucsc.edu
  12.  
  13.  
  14. In <1jd41cINNdh4@gap.caltech.edu> allenk@ugcs.caltech.edu (Allen Knutson) writes:
  15.  
  16. >jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez) writes:
  17.  
  18. >>Mathematically speaking, both bras and kets are vectors in a kind of
  19. >>vector space called a Hilbert space.  This is a vector space over the
  20. >>complex numbers equippend with an inner product satisfying various
  21. >>axioms.  So <a| and b> are just vectors and <a|b> denotes their inner
  22. >>product.  The "operator" X is just a linear transformation of the
  23. >>Hilbert space, and <a|X|b> is just a weird way of writing the inner
  24. >>product of a and Xb.  
  25.  
  26. :>John, I think thinking this way is a great hindrance to a person trying
  27. :>to understand the practice of manipulating bras and kets. What's the
  28. :>difference between <a| and |a>? Why do you see expressions like X|a>
  29. :>but never |a>X? And so on. If you naively think of kets (bras) as
  30. :>column (row) vectors, you can readily follow more complicated expressions,
  31. :>like |a><a|. (See my earlier post for a more extensive discussion.)
  32. :>                            Allen K.
  33.  
  34. OK, maybe I can make this even more confused.  One's outlook varies with
  35. background and interests.  For some physical intuition about what the
  36. quantities mean, I find it helpful to think of the inner product.  When
  37. you hear "The probability is the square of the amplitude" you're thinking
  38.  <a|a> = |a|^2 is the probability or density.  In this case, the similarity
  39. between |a> and <a| makes things easier to see.  The row-column vector
  40. image helps keep indices and complicated expressions clear, but when
  41. I actually get around to writing down brackets, I'm usually thinking
  42. of projecting onto a basis via an inner product.  So the usage (if not
  43. the stand-alone meaning) of |a><a| is perfectly clear.  Incidentally, the
  44. expression X|a> is written in that order just because operators act on
  45. functions from the left.  X can then be construed as an inf-dim linear
  46. operator or matrix.  I have seen |a>X but only with indices attached to
  47. keep things clear.  The expression <a|X|a> is a case of deliberate 
  48. notational symmetry; it can be construed as X acting on |a> normally
  49. or its adjoint acting on <a|.  I think the inner product "attitude" may
  50. be more helpful in, e.g., solving first year QM problems.
  51.  
  52. ask@ucscb
  53.