home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / research / 668 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-28  |  1.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!usenet.coe.montana.edu!saimiri.primate.wisc.edu!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  2. From: ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler)
  3. Newsgroups: sci.math.research
  4. Subject: Re: Set-free measure theory
  5. Message-ID: <ARA.93Jan26233454@camelot.ai.mit.edu>
  6. Date: 27 Jan 93 04:34:54 GMT
  7. Article-I.D.: camelot.ARA.93Jan26233454
  8. References: <C1GuEp.M99@sugar.neosoft.com>
  9. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  10. Organization: M.I.T. Artificial Intelligence Lab.
  11. Lines: 28
  12. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  13. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  14. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  15. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  16. In-Reply-To: claird@NeoSoft.com's message of 26 Jan 93 14:47:10 GMT
  17.  
  18. In article <C1GuEp.M99@sugar.neosoft.com> claird@NeoSoft.com (Cameron Laird) writes:
  19.  
  20.    Conjecture:  the literature already includes a proof
  21.    that there is nothing novel about "set-free measures",
  22.    that is, they all have realizations as (extended)
  23.    measures.  Does anyone know?
  24.  
  25. Apparently, you don't require the boolean algebra to be a sigma algebra.
  26. In that case, the Stone representation theorem seems to answer your
  27. question: every boolean algebra is isomorphic to the algebra of
  28. clopen (i.e. simultaneously open and closed) subsets of a totally
  29. disconnected compact Hausdorff space.
  30.  
  31. If you want to work with sigma algebras and want the representation
  32. to be a sigma homomorphism, the Stone representation doesn't work anymore.
  33. I'm sure a lot of work has been done on the representation of sigma
  34. algebras as sigma algebras of subsets, but I don't know the results
  35. on it.
  36.  
  37. If your Boolean algebra is atomic, you might get a suitable representation
  38. of it as subsets of the set of its atoms.
  39.  
  40. If you look at Borel sets modulo sets of measure zero, you don't have
  41. sets any more. This is not an atomic boolean algebra in general.
  42.  
  43.  
  44. Allan Adler
  45. ara@altdorf.ai.mit.edu
  46.