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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18844 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-28  |  3.1 KB  |  62 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!amdahl!rtech!sgiblab!spool.mu.edu!yale.edu!newsserver.jvnc.net!louie!udel!sbcs.sunysb.edu!hanche
  3. From: hanche@ams.sunysb.edu (Harald Hanche-Olsen)
  4. Subject: Re: Smooth manifolds and function extensions
  5. In-Reply-To: jbaez@riesz.mit.edu's message of Wed, 27 Jan 93 02: 26:48 GMT
  6. Message-ID: <HANCHE.93Jan27214519@ptolemy.ams.sunysb.edu>
  7. Sender: usenet@sbcs.sunysb.edu (Usenet poster)
  8. Nntp-Posting-Host: ptolemy.ams.sunysb.edu
  9. Organization: University at Stony Brook, NY
  10. References: <1993Jan27.022648.23237@galois.mit.edu>
  11. Date: Thu, 28 Jan 1993 02:45:19 GMT
  12. Lines: 48
  13.  
  14. >>>>> In article <1993Jan27.022648.23237@galois.mit.edu>,
  15. >>>>> jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez) writes:
  16.  
  17. John> In article yeomans@austin.onu.edu (Charles Yeomans) writes:
  18. >In article <2828@eagle.ukc.ac.uk>, mrw@ukc.ac.uk (M.R.Watkins) writes:
  19. >> 
  20. >> Given a manifold M with a smooth (C-infinity) structure, it is possible to
  21. >> define E(M), the linear space of all smooth functions on M.  Now is it
  22. >> possible to reconstruct the smooth structure (that is the atlas on M) from
  23. >> the knowledge of E(M) alone?
  24. [...]
  25. >But for a manifold with a C-infinity structure, what you ask might be
  26. >possible. However, I think you need more structure on X, say that of a ring or
  27. >algebra.
  28.  
  29. For the sake of saving network bandwidth, I am not going to quote John
  30. further.  Interested readers should look up the referenced article...
  31.  
  32. Assuming that you work with real functions, the natural ordering on
  33. E(M) is easily recovered from the algebraic structure: The positive
  34. elements are simply the squares.  Then the bounded functions in E(M)
  35. are characterized by -Me<=f<=Me for some constant M, where e is the
  36. unit of E(M) [the constant function e(x)=1].  Now define the norm of f
  37. to be the smallest such M, and you have a normed space.  The
  38. completion of this is B(M), the space of bounded continuous functions
  39. on M.  However the spectrum of B(M) [the space of maximal ideals, or
  40. equivalently, the space of scalar homomorphisms] is the Stone-Cech
  41. (sp?)  compactification of M, a rather large and strange beast (when M
  42. is not compact, that is).  It is not completely clear to me how to
  43. separate the wheat (the points in M) from the chaff (the rest of the
  44. spectrum).
  45.  
  46. If M is compact that is of course no problem, and we have now
  47. reconstructed M as a topological space.  Since the vector fields are
  48. the derivations of E(M) it should be possible to work out the
  49. differentiable structure as well.
  50.  
  51. But for noncompact M, consider this: The space of functions in E(M)
  52. with compact support is an ideal in E(M), thus is contained in a
  53. maximal ideal I, but there is no point in M on which all members of I
  54. vanish.  Gee, I won't even swear that the field E(M)/I has to be just
  55. the reals, but it would be nice wouldn't it.  This little problem
  56. might well stop you cold.  Incidentally, this is also why I am not
  57. convinced that John's idea for recovering the conjugation in case the
  58. starting point was the complex functions will work (but then, I am not
  59. convinced of the opposite either (I am just hard to convince)).
  60.  
  61. - Harald
  62.