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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18790 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-27  |  3.4 KB  |  95 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!tcsi.com!iat.holonet.net!news.cerf.net!usc!howland.reston.ans.net!news.ans.net!newsgate.watson.ibm.com!yktnews!admin!yktnews!victor
  3. From: victor@watson.ibm.com (Victor Miller)
  4. Subject: Re: A strange recurrence and RESULT ABOUT PI
  5. Sender: news@watson.ibm.com (NNTP News Poster)
  6. Message-ID: <VICTOR.93Jan26142615@terse.watson.ibm.com>
  7. In-Reply-To: plouffe@greco-prog.fr's message of 26 Jan 93 00:12:56 GMT
  8. Date: Tue, 26 Jan 1993 19:26:15 GMT
  9. Lines: 79
  10. Reply-To: victor@watson.ibm.com
  11. Disclaimer: This posting represents the poster's views, not necessarily those of IBM
  12. References: <1993Jan26.001256.12160@greco-prog.fr>
  13. Nntp-Posting-Host: terse.watson.ibm.com
  14. Organization: IBM, T.J. Watson Research Center
  15.  
  16. >>>>> On 26 Jan 93 00:12:56 GMT, plouffe@greco-prog.fr (Simon Plouffe [melancon]) said:
  17.  
  18.  
  19. Simon>    Let a(1)=1/2 and iterate the following recurrence :
  20.  
  21. Simon>                                              a(n)
  22. Simon>                              a(n + 1) = 2 ---------
  23. Simon>                                                   2
  24. Simon>                                           1 - a(n)
  25. Simon> This gives the numbers
  26.  
  27. Simon>                                       336  354144
  28. Simon>                      1/2, 4/3, -24/7, ---, ------, ....
  29. Simon>                                       527  164833
  30.  
  31. Simon> Now define this sign function to be,
  32.  
  33. Simon> sign(x) = 0 if x <= 0
  34. Simon>           1 if x >  0
  35.  
  36. Simon>    If you take the sum 
  37.  
  38. Simon>                              infinity
  39. Simon>                               -----
  40. Simon>                                \      sign(a(i))
  41. Simon>                        v =      )     ----------
  42. Simon>                                /           i
  43. Simon>                               -----       2
  44. Simon>                               i = 1
  45.  
  46. Simon> This real number appears to be
  47.  
  48. Simon>                                   arctan(1/2)
  49. Simon>                         v =   1 - -----------
  50. Simon>                                        Pi
  51.  
  52.  
  53. Simon> The questions are :
  54.  
  55. Simon> 0)  Is this known ?
  56. Simon> 1)  Can we explain this fact ?
  57.  
  58. This isn't that hard to explain: Suppose \theta is real, then tan
  59. \theta is >=0 if and only if {2 \theta/\pi} is >=0 and < 1/2, where
  60. {x} denotes the fractional part of x.  This condition occurs exactly
  61. when the expansion of the fractional part of 2\theta/\pi in binary
  62. starts .0....  Thus, you see, that sign(a(i)) is 1-d(i+1) where d(i)
  63. is 0 or 1 and 2 \theta/\pi = \sum_i d(i) 2^{-i} (assuming that a(i) is
  64. not zero). Here \theta = arctan(1/2).
  65. is irrational (this makes matters slightly easier).
  66. Simon> 2)  Are the distribution of binary digits of v random ?
  67. By Weyl's criteria, the binary digits of should be random (uniform).
  68.  
  69. Simon> 3)  Can we find another formula that will give the decimal digits of 1/Pi ?
  70. Simon> 4)  Can formula be used to calculate v efficiently ?
  71. Simon> Note , for an angle A we have : 
  72.  
  73.  
  74. Simon>                                  tan(A)
  75. Simon>                             2 ----------- = tan(2 A).
  76. Simon>                                         2
  77. Simon>                               1 - tan(A)
  78.  
  79.  
  80.  
  81. Simon> Any comment, references are welcome.
  82.  
  83.  
  84. Simon>   Simon Plouffe.
  85.  
  86. Simon> e-mail: plouffe@lacim.uqam.ca
  87. Simon> presently in Bordeaux at plouffe@geocub.greco-prog.fr
  88.  
  89. Simon> Ps : the real number was found experimentally.
  90. --
  91.             Victor S. Miller
  92.             Vnet and Bitnet:  VICTOR at WATSON
  93.             Internet: victor@watson.ibm.com
  94.             IBM, TJ Watson Research Center
  95.