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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18751 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-25  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!julienas!corton!geocub!plouffe
  2. From: plouffe@greco-prog.fr (Simon Plouffe [melancon])
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: A strange recurrence and RESULT ABOUT PI
  5. Message-ID: <1993Jan26.001256.12160@greco-prog.fr>
  6. Date: 26 Jan 93 00:12:56 GMT
  7. Organization: GRECO Programmation du CNRS - Bordeaux,France
  8. Lines: 60
  9.  
  10.  
  11.    Let a(1)=1/2 and iterate the following recurrence :
  12.  
  13.                                              a(n)
  14.                              a(n + 1) = 2 ---------
  15.                                                   2
  16.                                           1 - a(n)
  17. This gives the numbers
  18.  
  19.                                       336  354144
  20.                      1/2, 4/3, -24/7, ---, ------, ....
  21.                                       527  164833
  22.  
  23. Now define this sign function to be,
  24.  
  25. sign(x) = 0 if x <= 0
  26.           1 if x >  0
  27.  
  28.    If you take the sum 
  29.  
  30.                              infinity
  31.                               -----
  32.                                \      sign(a(i))
  33.                        v =      )     ----------
  34.                                /           i
  35.                               -----       2
  36.                               i = 1
  37.  
  38. This real number appears to be
  39.  
  40.                                   arctan(1/2)
  41.                         v =   1 - -----------
  42.                                        Pi
  43.  
  44. The questions are :
  45.  
  46. 0)  Is this known ?
  47. 1)  Can we explain this fact ?
  48. 2)  Are the distribution of binary digits of v random ?
  49. 3)  Can we find another formula that will give the decimal digits of 1/Pi ?
  50. 4)  Can formula be used to calculate v efficiently ?
  51. Note , for an angle A we have : 
  52.  
  53.  
  54.                                  tan(A)
  55.                             2 ----------- = tan(2 A).
  56.                                         2
  57.                               1 - tan(A)
  58.  
  59.  
  60.  
  61. Any comment, references are welcome.
  62.  
  63.  
  64.   Simon Plouffe.
  65.  
  66. e-mail: plouffe@lacim.uqam.ca
  67. presently in Bordeaux at plouffe@geocub.greco-prog.fr
  68.  
  69. Ps : the real number was found experimentally.
  70.