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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18640 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-22  |  1.7 KB  |  60 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!news.univie.ac.at!blekul11!frmop11!barilvm!aristo.tau.ac.il!jhusdhui
  3. From: jhusdhui@math.tau.ac.il (Gurel-gurevitch Ori)
  4. Subject: Re: Alephs again
  5. Message-ID: <1993Jan22.090115.10025@aristo.tau.ac.il>
  6. Sender: usenet@aristo.tau.ac.il (USENET)
  7. Organization: School of Math & CS - Tel Aviv University , Tel Aviv , ISRAEL.
  8. X-Newsreader: Tin 1.1 PL5
  9. Date: Fri, 22 Jan 1993 09:01:15 GMT
  10. Lines: 48
  11.  
  12.  
  13. n case you dont know 2^aleph0=aleph1 is the continum hypothesis and
  14. of course, is independent of ZFC. There is however a sign for 2^aleph0
  15.  
  16. it is just aleph (without any index). sometimes when dealing with
  17. models
  18. without GCH we use beit1 to represent 2^aleph0 beit2 is 2^beit1 etc,
  19. etc
  20. (beit0 is aleph0).
  21.  
  22. the enumeration given by Dennis Paul Himes is good for any countable
  23. set
  24. wich is already well-ordered (i.e. enumerated) but in general you
  25. cannot
  26. choose an enumeration for a given countale set without using AC so
  27. this
  28. is not a proof.
  29.  
  30. Allen K. writes:
  31.  For instance, 2^{\aleph_0} may
  32.  be \aleph_1, \aleph_2, or anything larger, EXCEPT \aleph_\omega
  33.  (the next cardinality after \aleph_1, \aleph_2, ...). But it can be
  34.  \aleph_{\omega+1}, \aleph_{\omega+2}, and so on.
  35.  
  36.  this is not quite true: as far as I know 2^aleph0 (aleph) can be any
  37.  cardinal with cofinality greater then omega. this means that aleph
  38.  cant
  39.  be aleph_omega but neither aleph_(omega*2) aleph_(omega*n)
  40.  aleph_(omega^2)
  41.  and not even aleph_(aleph_(omega)). the proof to this statment
  42.  follows
  43.  immediatly from konig's lemma which state that A^B wheras B>=cf(A) is
  44.  greater then A(not greater or equal). since
  45.      (2^aleph0)^aleph0 = 2^(aleph0*aleph0) = 2^aleph0
  46.      so cf(2^aleph0)>aleph0.
  47.                  J.
  48.                 
  49.  
  50.  
  51.  
  52.  
  53.  
  54.  
  55. --
  56.  
  57. Gurel-Gurevitch Ori            jhusdhui@libra.math.tau.ac.il
  58.  
  59.  
  60.