home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18625 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-21  |  3.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!usc!news.cerf.net!nic.cerf.net!jcbhrb
  2. From: jcbhrb@nic.cerf.net (Jacob Hirbawi)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: RE: Fundamental Tilings of the Plane
  5. Date: 22 Jan 1993 02:53:52 GMT
  6. Organization: CERFnet Dial n' CERF Customer Group
  7. Lines: 63
  8. Distribution: world
  9. Message-ID: <1jnnk0INN637@news.cerf.net>
  10. NNTP-Posting-Host: nic.cerf.net
  11.  
  12. In <C186HE.LC2.2@cs.cmu.edu> jmount+@CS.CMU.EDU (John Mount) writes:
  13.  
  14. > I was thinking about the 5 different types of crystallographic groups
  15. > (a crystallographic group is a subgroup G of the group of orientation
  16. > preserving isometries of the plane- such that there exists P, a
  17. > connected compact subset of the plane called a tile, such that G the
  18. > images of P under the action of G on the plane cover the plane exactly
  19. > once (except on a set of measure zero), two groups are of the same
  20. > type if they are conjugate) and their fundamental tilings (tiles such
  21. > that for h,g in G:
  22. >   interior(h(P)) intersect interior(g(P)) nonempty -> h = g).
  23.  
  24. The usual definition of crystallographic groups leads to 17 equivalence
  25. classes for the case of a 2 dimensional space. If you restrict attention 
  26. to orientation preserving ones, that is if you only allow rotations and
  27. proper translations, then I suppose you do end up with the five groups: 
  28. P1,P2,P3,P4, and P6 which have cyclic point groups.
  29.  
  30. > I was wondering how many generators were required to present these
  31. > groups.  For four of these group I could find two generator
  32. > presentations of the groups- for the last I have not been able to find
  33. > such a presentation.
  34. >
  35. > Then representatives of the five group types are:
  36. >
  37. >        [ 1 0 1 ]       [ 1 0 0 ]
  38. >    a = [ 0 1 0 ]   b = [ 0 1 1 ]
  39. >        [ 0 0 1 ]       [ 0 0 1 ]
  40. >
  41. >        [ 1 0 1 ]       [  0 1 0 ]
  42. >    a = [ 0 1 0 ]   b = [ -1 0 0 ]
  43. >        [ 0 0 1 ]       [  0 0 1 ]
  44. >
  45. >        [ 1 0 1 ]       [        1/2  sqrt(3)/2  0 ]
  46. >    a = [ 0 1 0 ]   b = [ -sqrt(3)/2        1/2  0 ]
  47. >        [ 0 0 1 ]       [          0          0  1 ]
  48. >
  49. >        [ 1 0 1 ]       [       -1/2  sqrt(3)/2  0 ]
  50. >    a = [ 0 1 0 ]   b = [ -sqrt(3)/2       -1/2  0 ]
  51. >        [ 0 0 1 ]       [          0          0  1 ]
  52.  
  53. Looking at the generators these look like P1,P4,P6, and P3 repectively:
  54.  
  55. > and the one I don't know a 2 generator presentation for 
  56. >
  57. >        [ 1 0 2 ]       [ 1 0 0 ]       [ -1  0 0 ]
  58. >    a = [ 0 1 0 ]   b = [ 0 1 1 ]   c = [  0 -1 0 ]
  59. >        [ 0 0 1 ]       [ 0 0 1 ]       [  0  0 1 ]
  60.  
  61. This would have to be P2. Coxeter and Moser's "Generators and Relations for
  62. Discrete Groups" has a section on the presentations of all crystallographic
  63. groups in two dimensions. I don't have the book with me but I have copied
  64. several presentations from it for each group into my notes; and sure enough
  65. for P2 none of these has fewer than three generators!. My guess is that if 
  66. Coxter and Moser could not come up with a two generator definition then it
  67. *probably* doesn't exist -- please excuse the appeal to authority here but
  68. I did emphasize "probably" din't I ;-) . Incidentally that section includes
  69. several 2 generator presentations for the other four groups in your list. 
  70.  
  71. Hope this helps!
  72.  
  73. Jacob Hirbawi
  74. JcbHrb@CERF.net
  75.