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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18604 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-21  |  2.1 KB  |  46 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!SAIL.Stanford.EDU!rivin
  3. From: rivin@SAIL.Stanford.EDU (Igor Rivin)
  4. Subject: Re: pyramid volume
  5. Message-ID: <1993Jan21.220908.14694@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1993Jan21.173423.11339@sophia.smith.edu> <1993Jan21.185357.28141@linus.mitre.org> <1993Jan21.205125.15427@sophia.smith.edu>
  9. Date: Thu, 21 Jan 1993 22:09:08 GMT
  10. Lines: 34
  11.  
  12. In article <1993Jan21.205125.15427@sophia.smith.edu> orourke@sophia.smith.edu (Joseph O'Rourke) writes:
  13. >In article <1993Jan21.185357.28141@linus.mitre.org> bs@gauss.mitre.org (Robert D. Silverman) writes:
  14. >>:In article <1993Jan21.140402.25519@mr.med.ge.com> carl@crazyman.med.ge.com (Carl Crawford) writes:
  15. >>:>
  16. >>:>how do show that the volume of a pyramid is 
  17. >>:>    1/3 * area of base * altitude 
  18. >> 
  19. >>A hint: Use a little vector analysis.  Consider 3 non-colinear
  20. >>vectors A,B,C  in R^3. Then consider A * (B x C).
  21. >
  22. >    Why don't you complete the thought?   It may be that you assume
  23. >knowledge more "complicated" than the intended goal...
  24.  
  25.  
  26. I assume that the intended goal is an argument that Archimedes would
  27. buy, so that volume can be defined as (say) the total amount of water
  28. displaced by the figure. This pretty much limits us to cutting the
  29. pyramid into pieces of known volume. Now, any pyramid can be cut into
  30. tetrahedra with the same vertex, so it is enough to compute the volume
  31. of a general tetrahedron. On the other hand, a general tetrahedron can
  32. be represented as the union of six right angled tetrahedra with the
  33. same vertex (some of which may be negatively oriented, but this is
  34. very reasonable from the bathtub perspective, if you imagine ladling
  35. water out with European milk containers). In turn, the volume of
  36. a right-angled tetrahedron  is computed in a previous message by
  37. O'Rourke. This method can also simply adapted to show that a
  38. parallelopiped of "determinant" 1 has volume 1, which in turn allows
  39. the indiscriminant use of affine transformations. This train of
  40. thought then also leads to the hairy world of scissors-congruence,
  41. etc. 
  42.  
  43.  
  44.  
  45.  
  46.