home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18596 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-21  |  1.3 KB  |  43 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!math.fu-berlin.de!goldstrn
  3. From: goldstrn@math.fu-berlin.de (Martin Goldstern)
  4. Subject: Re: Alephs again (two answers)
  5. Message-ID: <GZZ0R8T@math.fu-berlin.de>
  6. Summary: Injex does not follow from ZFC and does not imply GCH
  7. Sender: news@math.fu-berlin.de (Math Department)
  8. Organization: Free University of Berlin, Germany
  9. References: <1993Jan19.082655.6274@dxcern.cern.ch> <1993Jan19.150606.21751@infodev.cam.ac.uk> <1993Jan20.003806.9847@nas.nasa.gov>
  10. Date: Thu, 21 Jan 1993 20:39:50 GMT
  11. Lines: 30
  12.  
  13.  
  14. Daniel Asimov defined 
  15.  
  16. (Injex) Let A and B be any two cardinal numbers.  
  17.         Then 2^A = 2^B implies that A = B.
  18.  
  19. and asked if Injex was provable from ZFC or equivalent to GCH. 
  20. The answer to both questions is no.
  21.  
  22. Injex does not imply the GCH, as for example 
  23.  
  24.         2^{aleph_n} = aleph_{n+2} for all n < omega
  25.         (and GCH otherwise) 
  26.  
  27. is known to be consistent with ZFC (by Easton's theorem).  
  28.  
  29. Injex does not follow from ZFC, as for example
  30.  
  31.         2^{aleph_0} = 2^{aleph_1} = aleph_2  
  32.  
  33. is consistent with ZFC (already by Cohen's result). 
  34.  
  35. These theorems were proved in the 60s. 
  36. They both only assume the consistency of ZF. 
  37.  
  38. I recommend the books of Kunen and Jech for proofs of these and
  39. related results. 
  40.  
  41. Martin Goldstern
  42. goldstrn@math.fu-berlin.de
  43.