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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / rec / puzzles / 8543 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-26  |  1.9 KB  |  49 lines
  1. Newsgroups: rec.puzzles
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!Csli!hiraga
  3. From: hiraga@Csli.Stanford.EDU (Yuzuru Hiraga)
  4. Subject: Re: "map" of USA
  5. Message-ID: <1993Jan26.061643.18482@Csli.Stanford.EDU>
  6. Organization: Stanford University CSLI
  7. References: <19692.2b617217@ecs.umass.edu>
  8. Date: Tue, 26 Jan 1993 06:16:43 GMT
  9. Lines: 38
  10.  
  11. In article <19692.2b617217@ecs.umass.edu> padmanab@ecs.umass.edu writes:
  12. >Suppose you have two maps of USA of different 
  13. >scales. Now you place the smaller map inside 
  14. >the bigger map such that it falls completely 
  15. >within it. 
  16. >
  17. >Condider each point on the map to be a distinct 
  18. >city!! 
  19. >
  20. >QUESTION: Are there any city/cities on the 
  21. >smaller map which will coincide with the 
  22. >city/cities  on the bigger map? If so why? 
  23.  
  24. Let's not be taken by the words "USA" and "city",
  25. as some people got worried about.
  26.  
  27. The fixed point theorem says that every contracting projection
  28. has a fixed point (i.e. f(x)=x), so that's it (need a proof? :-)
  29.  
  30. A simple way to see this in our present case (not a rigorous proof) is:
  31. First suppose both maps are on the XY plane with same orientation,
  32. i.e. no rotation in the XY plane is applied.
  33. Then move the smaller map along the Z axis in parallel.
  34. If we connect the corresponding points in both maps, the connecting
  35. lines will converge at a single point.  Among those lines, there will
  36. be one which is the shortest, which happens to be perpendicular
  37. to the XY plane (i.e. the corresponding points have the same (x,y) coordinate).
  38.  
  39. For the general case, note that any positioning of the small map
  40. can be obtained by transposition, and rotation around a single point.
  41. Take this point to be the fixed point above (this can be alwas done
  42. in combination with the proper transposition).
  43. Applying rotation will leave the fixed point intact, though none of the
  44. others will become another fixed point.
  45. Incidentally, this shows that there is one and only one "city" that
  46. coincides.
  47.  
  48. -Yuzuru Hiraga
  49.