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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / comp / ai / fuzzy / 144 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-22  |  8.2 KB  |  174 lines
  1. Newsgroups: comp.ai.fuzzy
  2. Path: sparky!uunet!gatech!rpi!batcomputer!elias
  3. From: elias@fitz.TC.Cornell.EDU (Doug Elias)
  4. Subject: Fuzzy Logic and \"George is 'smart'" -- 0.7/
  5. In-Reply-To: arms@cs.UAlberta.CA's message of Wed, 20 Jan 1993 17:42:13 GMT
  6. Message-ID: <ELIAS.93Jan22102643@fitz.TC.Cornell.EDU>
  7. Sender: news@tc.cornell.edu
  8. Nntp-Posting-Host: wonton.tc.cornell.edu
  9. Organization: Software and Consulting Support Group, Cornell Theory Center,
  10.     C.U.
  11. Date: Fri, 22 Jan 1993 15:26:43 GMT
  12. Lines: 160
  13.  
  14.  
  15. arms@cs.UAlberta.CA (Bill Armstrong) comments that the statement:
  16.  
  17.                   George is smart -- 0.7
  18.  
  19. ..."express(es) in fuzzy terms something like 70% of people would apply
  20. this *description* to George."
  21.  
  22. Instead, this statement, if viewed as a proposition in fuzzy logic, is
  23. saying that:
  24. "i-the-speaker feel that this claim, "George is smart", has a truth
  25. value, within the range of 0 [totally false] to 1 [totally true], of
  26. .7" (this is only a simple interpretation of the statement; the more
  27. normally accepted interpretation is described a few paragraphs down);
  28. that means that, with all of the evidence available, the observer
  29. subjectively feels that the claim is more-true-than-not, but isn't
  30. completely true.
  31.  
  32. The two are very different in interpretation:
  33. *) the former assumes that each observer makes a classical "is/is-not"
  34.    decision, and then you sum over all of those binary 1-or-0's;
  35. *) the latter says that (for a single observer) the strength-of-belief-in,
  36.    or the weight-of-evidence-for the statement is being reported.
  37.  
  38. Translating this into fuzzy set theory provides a different perspective:
  39. *) classically, the logical claim "George is smart (is true)" becomes the
  40.    set theoretic "George is a member of the set 'smart'";
  41. *) the fuzzy-logical claim "George is smart (is true) to the .7
  42.    membership-grade-level" becomes the fuzzy-set-theoretic "George is
  43.    a member of the fuzzily-defined subset 'smart' (of the overall
  44.    classification-set "intelligence", which consists of
  45.    ('rock-stupid', 'real-dumb', 'dumb', 'dim', 'normal', 'quick',
  46.    'smart', 'real-smart', 'genius')) to the .7 degree of validity".
  47.  
  48. In the former, "smart" is a characteristic you are considered to
  49. either have or not have; in the latter you can "have" it to varying
  50. degrees over a range of possible values -- for example, you may be
  51. 'real-smart' when it comes to things like programming, but
  52. 'rock-stupid' when it comes to keeping yourself in shape, and 'dim'
  53. when it comes to finances, etc,: a fuzzy classification scheme allows
  54. you to specify how "well" you represent each category all-at-once, and
  55. your overall "intelligence" classification is the join of your
  56. representativeness in each one of the possible categories.
  57.  
  58. Getting back to fuzzy logic, "George is smart" would be normally be
  59. applied to the fuzzy set consisting of possible truth-values, say:
  60.     (totally-false, false, slightly-false, neutral, slightly-true, true,
  61.      totally-true)
  62. and the "0.7" would be the membership grade associated with one of
  63. those categories.  This assignment would result, then, in a fuzzy-logical
  64. proposition which could, for example, be combined with other such
  65. claims using fuzzy-logical operators such as "not", "and", "or", and
  66. the logical formulas that can constructed from them.  The "classical"
  67. fuzzy operator-functions "1 - m()" for "negation", "max" for "or", and
  68. "min" for "and" are only single members of essentially an infinite
  69. number of operator-functions that can be used to implement the symbols
  70. "~", "&", and "|".
  71.  
  72. Armstrong uses the term "linguistic" for what is called "ambiguous",
  73. or "not completely assignable to a single category", within fuzzy set
  74. theory.  "Ambiguous" classifications differ from probabilistic ones
  75. precisely because probability theory requires that a given element of
  76. the universal set be found in one-and-only-one subset of the
  77. classification (there must be no overlap among the possible
  78. alternatives), while fuzzy theory allows an element to maintain
  79. membership in multiple categories at the same time -- i.e.,
  80. probability theory enforces the "Law of the Excluded Middle", while
  81. fuzzy theory relaxs it (another indication of how probability theory
  82. is a proper subset of fuzzy theory, obtained when the "degree-of-relax-
  83. ation of the Law of the Excluded Middle" is set to 0).
  84.  
  85. Applying these concepts to Armstrong's example propositions of "'George
  86. is smart' == S" and "'George is rich' == R", using the fuzzy operators
  87. ~, &, and |, would then result each full fuzzy theorem (e.g., "S & ~R")
  88. being evaluated and that result then being graphed onto the various
  89. "strength-of-truthity" classes described previously.  Let's take this
  90. one case as an example, and set:
  91.     m(S) = .7
  92.     m(R) = .4
  93. Then m(S & ~R) = .7 & .6 = .7, using the classical fuzzy negation and
  94. conjunction operaters.  Now, this simply states that George is a
  95. member of the set of people who are both smart and not rich to the .7
  96. degree, i.e., more-a-member-than-not.  We can now evaluate its various
  97. truthvalues by using the following:
  98.  
  99.     1    ____(At_Least)_Very Weakly True__________________
  100.  M  |  /                           |    -      -       -|
  101.  e  |*/**************************** -  |                 -  |
  102.  m  |/                         -       |           -   - |
  103.  b  ||       (At Least)   -            |        -        |
  104.  e.75|       Weakly True                  |     -          -   |
  105.  r  ||               -                    |  -              |
  106.  s  ||******************************** -           -     |
  107.  h  ||          -                      -  |                 |
  108.  i  ||                              -     |         -       |
  109.  p .5|      -                   -           |                 |
  110.     ||                       -             |       -     |
  111.  G  ||    -            True-              |             |
  112.  r  ||                -                    |    -        |
  113.  a.25|**-*********-********Strongly True-            |
  114.  d  ||         -              -      |                   /
  115.  e  ||-        -                 -              |               /
  116.     ||      -       -                     |   Very Strongly True
  117.     || ----------------------------------------------/
  118.     0/0________.25___________.5________|__.75_ __________1
  119.                                |
  120.        Propositional Truth Value      .7
  121.                            |
  122.  M  1--------(At-Least)-Very-Weakly-False----------- \
  123.  e  || -    -                      |          \
  124.  m  ||    -         -                  |           \
  125.  b  ||-      -             -           |        \
  126.  e  ||          -        (At Least)    |         |
  127.  r.75|         _          -    |         |
  128.  s  || -                      Weakly  |         |
  129.  h  ||****************-************False         |
  130.  i  ||             False -             | -           |
  131.  p  ||    -                 -             |             |
  132.    .5|                         _       |             |
  133.  G  || Strongly False             _    |       -     |
  134.  r  ||                           _ |                 |
  135.  a  ||*********-********************** -                 |
  136.  d .25                         |  -         -    |
  137.  e  |\               -             |     -           |
  138.     | \                        |        -      - |
  139.     |Very*************************** -*|       -        |
  140.     | Strongly False               |      -       -  |
  141.     |____\_______________________________________________|
  142.     0/0________.25___________.5________|__.75_ __________1
  143.  
  144.  
  145. The final result, then, is the determination that
  146.          m((George is smart) & (George is not rich)) == .7
  147. is a member of the fuzzy-set "Truth Value" with membership grades:
  148.    0/Very Strongly True 
  149.  .25/Strongly True
  150.  .70/True
  151.  .85/At Least Weakly True
  152.    1/At Least Very Weakly True
  153.    1/At Least Very Weakly False
  154.  .65/At Least Weakly False
  155.  .30/False
  156.  .25/Strongly False
  157.    0/Very Strongly False
  158.  
  159. Now, for using this conjunction within a fuzzy logical evaluation, you
  160. first determine what level of "truth value" you want it to have, then
  161. plug in the appropriate membership grade for that level of "truth-ity".
  162.  
  163.  
  164. Whew.  "Fuzzy Sets, Uncertainty and Information Theory", by Klir and
  165. Folger (Plenum Press or Prentice Hall, can't remember which), 1988,
  166. covers this in much more detail, and with much better graphics (sic).
  167.  
  168. doug
  169. --
  170. #  ____    |Internet:   elias@tc.cornell.edu
  171. #dr _|_)oug|USmail:     Sci.Comp.Support/Cornell Theory Center
  172. #  (_|     |            737 TheoryCtrBldg/C.U./Ithaca/N.Y./14853-3801
  173. #  (_|__   |MaBelle:    607-254-8686   Fax: 607-254-8888
  174.