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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / physics / 21826 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-28  |  4.5 KB  |  96 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: bubble in container
  5. Message-ID: <1992Dec28.214917.27561@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <Bzs9I4.IqG@utdallas.edu> <1992Dec26.173915.16068@sfu.ca>
  9. Date: Mon, 28 Dec 1992 21:49:17 GMT
  10. Lines: 84
  11.  
  12. In article <1992Dec26.173915.16068@sfu.ca> Leigh Palmer <palmer@sfu.ca> writes:
  13. >
  14. >Second, note that the bubble now establishes a pressure in the fluid in 
  15. >the horizontal plane of its location, since it is in hydrostatic 
  16.                                                       ^^^^^^^^^^^
  17. >equilibrium with the fluid. Only the position of the bubble is necessary 
  18.  ^^^^^^^^^^^
  19. >to specify the elevation of this horizontal isobar.
  20.  
  21. How do you justify hydrostatic reasoning in a hydrodynamics problem?
  22. If the bubble is on its way up the system is not in equilibrium.
  23.  
  24. >The pressure increases everywhere in the container by an amount
  25. >            delta P = rho g h,
  26. >where 
  27. >                rho = density of water
  28. >                  g = acceleration of gravity
  29. >                  h = the vertical distance the bubble rises
  30.  
  31. I'll buy this for the pressure change at the bottom, but the following
  32. hydrodynamic argument would appear to invalidate your "everywhere."
  33. Consider a *large* bubble starting at the bottom and rising to the top:
  34.  
  35.                          -------           -------
  36.                         |~~~~~~~|         |       |
  37.                         |~~H20~~|         |  AIR  |
  38.                         |~~~~~~~|         |       |
  39.                         |~~~~~~~|  --->   |       |
  40.                         |       |         |~~~~~~~|
  41.                         |  AIR  |         |~~~~~~~|
  42.                         |       |         |~~H20~~|
  43.                         |       |         |~~~~~~~|
  44.                          -------           -------
  45.  
  46. Now neglect all forces attributable to viscosity, surface tension, and
  47. turbulence, and imagine that a small tube of air penetrates the water
  48. from bottom to top (whether by external intervention, spontaneous
  49. symmetry breaking, or whatever, is immaterial).  The water is now free
  50. to fall, with the air blasting freely up the tube.  While the water is
  51. in free fall the pressure *throughout the container* equals that of the
  52. air, which in the absence of any countervailing forces is uniformly
  53. distributed.  When the water reaches and settles down at the bottom,
  54. the pressure remains unchanged throughout the air-filled region, but
  55. increases linearly with depth in the water-filled region.  The pressure
  56. at the bottom is now that of the air plus  rho g h  where h is the
  57. height of the water.  This is your delta P, valid at the bottom but
  58. nowhere else.
  59.  
  60. This argument is valid for any ratio of water to air volume, whence it
  61. remains valid for small air bubbles.
  62.  
  63. Now take viscosity etc. into account.  The water is indeed no longer in
  64. free fall.  However the same factor slowing down the progress of the air
  65. bubble also slows down the propagation of the pressure differential
  66. between the bubble and the side of the tube.
  67.  
  68. The above argument shows that your formula is not valid (except at the
  69. bottom) for sufficiently low surface tension, viscosity etc.  Can you
  70. give limiting conditions under which your formula *is* valid?  E.g. an
  71. arbitrarily small air bubble, arbitrarily narrow container, arbitrarily
  72. high viscosity,...
  73.  
  74. Viscosity:  The problem with increasing the viscosity would seem to be
  75. that it retards transmission of the pressure defect to the side of the
  76. container.  It is not at all clear to me whether more or less viscosity
  77. is better for your formula.
  78.  
  79. Width:  If the water is much wider than it is deep then the time of
  80. transit of the bubble would be short compared to the time for its
  81. pressure differential to move out to the side, and conversely for a
  82. narrow container.  Thus a narrow container would seem to help your
  83. formula.
  84.  
  85. Surface Tension:  Enough surface tension will hold the bubble together
  86. and prevent the "tube of air," presumably helping your formula.
  87.  
  88. The combination of high surface tension, low to medium viscosity, and a
  89. narrow container would seem like the optimal combination for which your
  90. formula would be a good approximation.  There should be a single
  91. formula combining these factors to give a measure of goodness of your
  92. approximation.  Finding a reasonable such formula seems like an
  93. extremely hard hydrodynamics problem.
  94. -- 
  95. Vaughan Pratt                There's safety in certain numbers.
  96.