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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / physics / 21597 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-22  |  2.6 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:21597 sci.math:17313
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!enterpoop.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  4. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  5. Subject: Re: Can space-time intersect itself?
  6. Message-ID: <1992Dec19.213520.19051@galois.mit.edu>
  7. Sender: news@galois.mit.edu
  8. Nntp-Posting-Host: riesz
  9. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  10. References: <402@moene.indiv.nluug.nl> <1992Dec15.065413.26861@galois.mit.edu> <mcirvin.724718726@husc8>
  11. Date: Sat, 19 Dec 92 21:35:20 GMT
  12. Lines: 46
  13.  
  14.  
  15. Matt McIrvin writes:
  16. >A difference between "can be embedded" and "is embedded"
  17. >is that the former doesn't *require* the space to intersect
  18. >itself, whereas the latter well might!  I can embed a Klein bottle
  19. >in R^3...
  20.  
  21. Really?  You should publish this shocking result immediately.  :-)
  22.  
  23. >but if I do it requires that the Klein bottle intersect
  24. >itself.  
  25.  
  26. Right.  This is an immersion, not an embedding.  One can't embed a compact
  27. nonorientable n-manifold in R^{n+1}, as it turns out, and the Klein
  28. bottle is nonorientable.  In fact, one can show that one can't embed a compact
  29. nonorientable n-manifold in a simply connected (n+1)-manifold.  The
  30. proof relies on the following rough intuition (which I won't bother to
  31. state precisely, so it won't be literally true): the complement of a
  32. compact embedded n-manifold in a simply connected (n+1)-manifold must
  33. consist of two parts, but if the embedded n-manifold is nonorientable,
  34. one must be able to get around from one part to the other, a
  35. contradiction.  (Think about how the outside and the inside of the Klein
  36. bottle are really on the same side.)    
  37.  
  38. Here it is crucial that the n-manifold be without boundary.  There is no
  39. problem embedding the Moebius strip in R^3; it's a compact nonorientable
  40. 2-manifold *with boundary*.
  41.  
  42. >(By the way, is the word "embed" right in this context?  Is what
  43. >you do to a Klein bottle in R^3 an embedding, or just an immersion?
  44. >Are all immersions embeddings?  An immersed manifold certainly can
  45. >intersect itself, or, more properly, its image under the immersion
  46. >can.)
  47.  
  48. An embedding is a 1-1 immersion, or loosely one with no
  49. self-intersections.  An immersion is a smooth map from one smooth
  50. manifold to another whose differential has maximal rank at each point.
  51. Or, to put it loosely, it's 1-1 on each tangent space, and thus (one can
  52. show) locally looks like an embedding, but globally might fold around
  53. back on itself.  
  54.  
  55. The great advantage of being a mathematician over being a physicist is
  56. that mathematicians are the ones who get to define how all mathematical
  57. terms are used, and thus are always able to trip up physicists with
  58. terminology!  :-)  
  59.  
  60.