home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17536 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-31  |  3.4 KB  |  81 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: need proof:  (1 + 1/n)^n ==> e
  5. Message-ID: <1992Dec31.045851.26887@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1hfv4sINNdlk@usenet.INS.CWRU.Edu> <1992Dec29.094842.3685@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <VICTOR.92Dec30104755@terse.watson.ibm.com>
  9. Date: Thu, 31 Dec 1992 04:58:51 GMT
  10. Lines: 69
  11.  
  12. In article <VICTOR.92Dec30104755@terse.watson.ibm.com> victor@watson.ibm.com writes:
  13. >The following simple proof comes from "Inequalities" by P. Korovkin,
  14. >Blaidell Scientific paperbacks.
  15. >
  16. >set x_n = (1+1/n)^n, and y_n = (1+1/n)^{n+1}.
  17. >
  18. >We show that x_n is monotone increasing and y_n is monotone
  19. >descreasing.  Since x_n < y_n we find that they both approach a common
  20. >limit, which we call e.
  21.  
  22. This only shows that x_n and y_n each approach a limit, not necessarily
  23. the same one.  For the purposes of defining e it suffices to take e to
  24. be the limit of x_n.  However y_n is particularly convenient for
  25. showing that x_n and y_n do approach the same limit, y_n/x_n being
  26. simply 1+1/n.
  27.  
  28. The use of the arithmetic-geometric mean inequality in Korovkin's
  29. argument is not only slick but shows that the whole sequence (1+1/n)^n
  30. is monotone, not just the n-a-power-of-2 part (Michael Somos pointed
  31. this argument out to me yesterday).  However it makes the proof that
  32. much less elementary, not that the inequality is hard to prove but
  33. including the proof does add a few lines.
  34.  
  35. Korovkin's y_n gives me an idea for shortening my elementary
  36. powers-of-2 proof that (1+1/N)^N has a limit.  I'll continue to write N
  37. for powers of 2 and n for positive integers.
  38.  
  39.                      1 N
  40. Lemma 1.  X  =  (1 + -)  is monotone increasing.
  41.            N         N
  42.  
  43.             1           1   2              1  N           1   2N
  44. Proof.  1 + -  <  ( 1 + -- ) , hence ( 1 + - )   <  ( 1 + -- )
  45.             N           2N                 N              2N
  46.  
  47.  
  48. Lemma 2.  Ditto with - in place of + throughout, call this sequence Y .
  49.                                                                      N
  50.  
  51. Proposition.  X  has a limit.
  52.                N
  53.  
  54.                   1 N         1  N
  55. Proof.  X  = (1 + -)  < (1 + ---)   =  1/Y   <  1/Y .  So X  is bounded.  QED
  56.          N        N          N-1          N        1       N
  57.  
  58. This ought to be getting close to the shortest possible elementary
  59. proof of this proposition.
  60.  
  61.  
  62. We can also show that Y    has a limit, namely 1/e, by tying it to X  thus:
  63.                        N+1                                          N
  64.  
  65.  
  66.                        n+1  n    n   n+1     n
  67. Lemma 3.    X Y    = ( --- )  ( --- )    =  --- , for all positive n.
  68.              n n+1      n       n+1         n+1
  69.  
  70. Note that Lemma 3 holds for all n, but as long as we only understand
  71. X_N we can only apply it to Y_{N+1}.  This raise the following
  72.  
  73. Problem.  Give comparably elementary proofs of the stronger result that
  74. X_n (not just X_N) has a limit, and the yet stronger result that X_n is
  75. monotone increasing.  Somos' ordered-sequences argument does not yield
  76. these.  Korovkin's AGM argument seems the most elegant way to obtain
  77. the latter, with the former an immediate corollary.  Arguments based on
  78. expanding (a+b)^n seem to entail unreasonably tedious calculation.
  79. -- 
  80. Vaughan Pratt                There's safety in certain numbers.
  81.