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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17521 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-30  |  2.9 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17521 sci.physics:21914
  2. Path: sparky!uunet!gatech!rpi!think.com!news!columbus
  3. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: Banach-Tarski paradox (was: Bayes' theorem and QM)
  6. Date: 30 Dec 92 17:03:54
  7. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  8. Lines: 55
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Dec30170354@strident.think.com>
  10. References: <1992Dec24.101452.16194@oracorp.com>
  11.     <1ht1arINNf8a@chnews.intel.com>
  12. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  13. In-reply-to: bhoughto@sedona.intel.com's message of 30 Dec 1992 20:37:47 GMT
  14.  
  15.  
  16. Description of the Banach-Tarski paradox by Daryl McCullough omitted.
  17.  
  18. Blair P. Houghton replies:
  19.  
  20.    I'll buy the explanation (conditioned on the conjecture
  21.    that such a situation might exist, which as yet isn't
  22.    anything more than conjecture), but not the example.
  23.  
  24.    The two spheres thus formed do indeed have the same volume
  25.    sum as the original sphere, but each has less volume than
  26.    the original, or else they weren't composed of a finite
  27.    number of pieces[*], or else when constructed they contained
  28.    gaps, internally.
  29.  
  30.    That, or their "volume" is fractal, being the effective
  31.    volume of a convoluted surface, and therefore isn't
  32.    actually of order 3 but of some order less than 3 and
  33.    greater than 2. [...]
  34.  
  35. I know it sounds unbelievable.  The proof relies on (and in
  36. fact requires) the axiom of choice, so that's one way around it.
  37.  
  38. But if you do accept the "usual axioms of mathematics" (i.e., ZFC,
  39. Zermelo-Frankel set theory with the axiom of choice), then you're stuck
  40. with the BT paradox, which is indeed a theorem of ZFC.
  41.  
  42. You can find a more extensive discussion of the BT theorem in the FAQ for
  43. sci.math.  Here is a statement of one form of the result.
  44.  
  45.     Let S, S1, and S2 be three spheres of radius 1.  Let B be the set of
  46.     all points on or inside S; ditto for B1, B2.  Assume S, S1, and S2 are
  47.     placed so that B, B1, and B2 are pairwise disjoint.
  48.  
  49.     The sets B, B1, and B2 can each be partitioned into a finite number of
  50.     subsets:  (here, "+" stands for disjoint union)
  51.  
  52.         B  = P_1 + ... + P_m + P_{m+1} + ... + P_{m+n}
  53.         B1 = Q_1 + ... + Q_m
  54.         B2 =                   Q_{m+1} + ... + Q_{m+n}
  55.     
  56.     such that P_i is congruent to Q_i for i=1 to m+n.  "Congruent" means
  57.     that there is a rigid motion taking P_i onto Q_i.
  58.  
  59. One says that B and B1+B2 are "equivalent by finite decomposition".  There
  60. are no gaps in B1 or B2--- they each consist of *all* points inside or on
  61. their respective spheres.  There are indeed a finite number of pieces in
  62. each partition (i.e., m and n are finite--- in fact I think m and n can be
  63. chosen rather small, something like 20 or so.)
  64.  
  65. Note that the statement of the BT theorem does not mention the word
  66. "volume".  B, B1, and B2 are really quite ordinary point sets, and I don't
  67. believe there is any reasonable sense in which one could say they have
  68. "fractal volume".  Of course, the P's and Q's are a different story...
  69.  
  70.