home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17417 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-25  |  3.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!agate!usenet.ins.cwru.edu!alpha.ces.cwru.edu!somos
  2. From: somos@ces.cwru.edu (Michael Somos)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: need proof:  (1 + 1/n)^n ==> e
  5. Date: 25 Dec 1992 21:40:44 GMT
  6. Organization: Computer Engineering and Science, Case Western Reserve University
  7. Lines: 56
  8. Message-ID: <1hfv4sINNdlk@usenet.INS.CWRU.Edu>
  9. References: <1glr2qINN2vg@usenet.INS.CWRU.Edu>
  10. NNTP-Posting-Host: lychee.ces.cwru.edu
  11. Summary: truly elementary proof given
  12.  
  13. The tone of the question suggests that a very elementary proof of
  14. the limit (1+1/n)^n is requested.  It is no trick to come up with
  15. fancy proofs that obscure rather than clarify.  An elementary proof
  16. may use a few more steps than a slick fancy proof but lead to more
  17. insight into the problem.  While the previously posted proofs all
  18. have some merit, so far no one has mentioned the following approach.
  19.  
  20. We consider lists of real numbers like x = [.34,.51,.12].  Define the
  21. operator P as the product of all the numbers incremented by one.  So
  22.  
  23.     P [a,b,c] = (1+a)(1+b)(1+c) , for example.
  24.  
  25. We now require all the numbers of the list to have the same sign.
  26. The reason is the following inequality
  27.  
  28.     P [a+b] = 1+a+b < 1+a+b+ab = (1+a)(1+b) = P [a,b]  if  ab>0 .
  29.  
  30. We now define a partial ordering of lists by requiring that any
  31. splitting of a number is considered as being greater, for example,
  32.  
  33.     [a,b+c,d+e,f] < [a,b,c,d+e,f] < [a,b,c,d,e,f] .
  34.  
  35. Note that two lists that have the same sum also have a common upper
  36. bound since we can keep splitting numbers of both to get a list of
  37. numbers which can be rejoined to get either of the original lists.
  38.  
  39. This definition is designed to ensure that P is monotonic.  Since
  40. (1+a)(1-a) = 1-a^2 < 1 , we now require that all the numbers of the
  41. list be less than one in absolute value.  This ensures the following
  42.  
  43.     P(x) P(-x) = P(-x^2) < 1  ,  P(x) = P(-x^2)/P(-x) < 1/P(-x) .
  44.  
  45. where -x is the list of all negatives of the numbers in x.  But now
  46.  
  47.     if x < y , then  -x < -y  and P(x) < P(y) < 1/P(-y) < 1/P(-x) .
  48.  
  49. All we need now is to show that an increasing sequence of lists,
  50. where the maximum absolute value of the numbers goes to zero, will
  51. converge to a limit when operated by P.  A simple estimate is needed.
  52. Define the S operator as the sum of all the numbers of a list.  To
  53. estimate how close we are approaching a limit use the simple
  54.  
  55.     [S(x)] < x , and  1 + S(x) = P [S(x)] < P(x) .
  56.  
  57. But  S(-x^2)  approaches 0 by our last hypothesis, so the  P(x)  and
  58. the  1/P(-x)  approach each other and are equal in the limit. 
  59.  
  60. Finally, consider the sequence of lists  [1] , [1/2,1/2] , ... ,
  61. [1/n,1/n,...,1/n] , ...  operated by  P  giving  (1+1) , (1+1/2)^2 ,
  62. ... , (1+1/n)^n , ... .  The limit exists and is defined to be  e .
  63.  
  64. Note that this approach also defines the exponential function at the
  65. same time.  It uses nothing beyond the concept of limits and simple
  66. algebra.  It is truly elementary although it uses more steps.  
  67.  
  68. Shalom, Michael Somos <somos@alpha.ces.cwru.edu> (My opinions alone)
  69.