home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17373 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-23  |  3.0 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17373 sci.philosophy.tech:4614
  2. Newsgroups: sci.math,sci.philosophy.tech
  3. Path: sparky!uunet!gatech!news.byu.edu!ux1!mica.inel.gov!guinness!opal.idbsu.edu!holmes
  4. From: holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes)
  5. Subject: Re: Numbers and sets
  6. Message-ID: <1992Dec23.175145.18528@guinness.idbsu.edu>
  7. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  8. Nntp-Posting-Host: opal
  9. Organization: Boise State University
  10. References: <1992Dec17.235906.13828@guinness.idbsu.edu> <1992Dec19.140927.18700@husc3.harvard.edu> <Bzosz1.FMx@cantua.canterbury.ac.nz>
  11. Date: Wed, 23 Dec 1992 17:51:45 GMT
  12. Lines: 57
  13.  
  14. In article <Bzosz1.FMx@cantua.canterbury.ac.nz> wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor) writes:
  15. >In article <1992Dec19.140927.18700@husc3.harvard.edu>, zeleny@husc10.harvard.edu (Michael Zeleny) writes: 
  16. >
  17. >|> The Axioms of Foundation and Choice are analytically
  18. >|> true of sets;
  19. >
  20. >What does this sentence mean ? 
  21. >Could someone please explain further ?
  22. >Why can it be so blithely asserted ?
  23. >
  24. >--------------------------------------------
  25. >Bill Taylor.       wft@math.canterbury.ac.nz 
  26. >Bill Trylor. que  rwft@maih.casterkury.aa.n! 
  27. >Tiel Tryloco quer rwst@maihuc sterkesy.ga.n!
  28. >Thelworyd co quer rwsi@mvihus strikesy.gain!
  29. >The world conqueror sig-virus strikes again!
  30. >--------------------------------------------
  31.  
  32. What the sentence purports to mean is that the axioms of foundation
  33. and choice are true of sets for the same kind of reason that bachelors
  34. are necessarily unmarried; that they are included in the definition of
  35. the notion of "set".  The sentence is false.
  36.  
  37. The power of blithe assertion is independent of the truth or
  38. falsehood, plausibility or implausibility, of the sentences asserted.
  39.  
  40. The axiom of foundation asserts that each set is disjoint from at
  41. least one of its elements; it ensures that sets are constructed in an
  42. orderly fashion starting with the empty set or perhaps with atoms as
  43. well, each set being a set of previously constructed sets.  This
  44. prevents such oddities as sets which are elements of themselves
  45. (which, I hasten to point out to the uninformed, are _not_ paradoxical
  46. and do turn up in some set theories).
  47.  
  48. The axiom of choice asserts that, given any collection of disjoint
  49. sets, there is some set which consists of exactly one element of each
  50. element of the collection of disjoint sets; as Lord Russell put it, if
  51. we have infinitely many pairs of socks, we may choose one sock from
  52. each pair and form a set (in many different ways).
  53.  
  54. Both axioms have powerful common-sense arguments behind them, but it
  55. is also the case that there are good arguments against both of them.
  56. I don't think that either of them is part of the _definition_ of the
  57. concept "set".  For the record, my official set theory includes choice
  58. and denies foundation; I'm a professional set theorist, so you might
  59. want to take this into account in evaluating Zeleny's claim.
  60.  
  61.  
  62.  
  63.  
  64.  
  65.  
  66. -- 
  67. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  68. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  69. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  70. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  71.