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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17367 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-23  |  2.2 KB  |  45 lines
  1. Xref: sparky sci.math:17367 sci.physics:21670
  2. Path: sparky!uunet!think.com!news!columbus
  3. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: More on Huygens' principle
  6. Date: 23 Dec 92 11:49:33
  7. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  8. Lines: 33
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Dec23114933@strident.think.com>
  10. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  11.  
  12.  
  13. John Baez has posted the outline of two computations that show why Huygens'
  14. principle holds for the wave equation with an odd number of spatial
  15. dimensions, except 1, but fails in even dimensions.
  16.  
  17. I'm a little puzzled about the exception of 1.  Isn't u = f(x+t) + g(x-t) a
  18. general solution to the wave equation in 1 dimension?  This appears to
  19. propagate without leaving "echoes", i.e., if the supports of f and g for
  20. t=0 are contained in [-a,a], then the support at t>0 is contained in the
  21. union of [-a-t, a-t] and [-a+t, a+t].  This should work also for
  22. distributions.  What am I missing?
  23.  
  24. If one assumes that Huygens' principle holds in 3 spatial dimensions, one
  25. can deduce that it should fail in 2.  Hadamard called this argument the
  26. "method of descent".  Briefly: consider a pulse disturbance at t=0 along
  27. the entire z-axis.  It creates spreading waves that obviously will have no
  28. dependence on z, and hence satisfy the 2-dimensional wave equation.  Now we
  29. apply Huygens' principle in 3 dimensions--- that is, we add up spherical
  30. waves spreading from each (0,0,z) (i.e., integrate over z).  An observer
  31. positioned at (x,y,0) will of course "hear" the pulse at t = sqrt(x^2+y^2),
  32. due to the spherical wave spreading out from (0,0,0) but will also hear
  33. something at t = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), thanks to the spherical wave from
  34. (0,0,z). QED (I was hoping there was a similarly intuitive argument for why
  35. Huygens' should work for 3 dimensions, but I guess not.)
  36.  
  37. Did the gods give us three spatial dimensions so music would sound nice?
  38. Perhaps, but if so, they made Huygens' principle fail in two dimensions so
  39. skipping stone on a still pond would produce pretty ripples!  Question for
  40. the net: which is more important in determining the residual ripples, this
  41. "anti-Huygens" effect, or the fact that water waves are more complex than
  42. Laplacian(f) = f_tt?
  43.  
  44.  
  45.