home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17338 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-22  |  1.9 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17338 rec.puzzles:8103
  2. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles
  3. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!wupost!mont!mont!stephen
  4. From: stephen@mont.cs.missouri.edu (Stephen Montgomery-Smith)
  5. Subject: Re: Integral Puzzle (Cute, not Evil)
  6. Message-ID: <stephen.725068342@mont>
  7. Organization: University of Missouri
  8. References: <1992Dec19.011244.2780@Csli.Stanford.EDU> <1h4hnuINNnec@function.mps.ohio-state.edu> <isopi.724948656@acf9>
  9. Date: 22 Dec 92 23:52:22 GMT
  10. Lines: 45
  11.  
  12. In <isopi.724948656@acf9> isopi@acf9.nyu.edu (Marco Isopi) writes:
  13.  
  14. >edgar@function.mps.ohio-state.edu (Gerald Edgar) writes:
  15.  
  16.  
  17. >>In more flowery language: given the L_infinity and L_1 norms of f, estimate
  18. >>the L_2 norm of f.
  19.  
  20. >And then Riesz-Thorin theorem shold bring you home.
  21. >Or there are other and better ways?
  22.  
  23. >>  Gerald A. Edgar                Internet:  edgar@mps.ohio-state.edu
  24.  
  25. >Marco Isopi
  26.  
  27. If you use the real interpolation method instead, you get a stronger result:
  28.  
  29.   || f ||_{2,1}  <=  c sqrt( ||f||_1 ||f||_infty ).
  30.  
  31. Here ||f||_{2,1} is a so called Lorentz space.  It is defined:
  32.  
  33.   ||f||_{2,1}  =  int_0^infty  sqrt(measure(|f|>t)) dt .
  34.  
  35. One can give a direct proof of the above inequality to get c = 1:
  36.  
  37.   ||f||_{2,1}  =  int_0^||f||_infty  sqrt(measure(|f|>t)) dt
  38.                <= (int_0^||f||_infty 1 dt)^(1/2)  
  39.                                     (int_0^||f||_infty measure(|f|>t) dt)^(1/2)
  40.                =  sqrt( ||f||_1 ||f||_infty ) .
  41.  
  42. The quantity ||f||_{2,1} is always larger than or equal to ||f||_2, and
  43. usually is not equal (equal only when |f| takes two values one of which is 0).
  44.  
  45. If you are interested in finding out more about Lorentz spaces, here are
  46. some references.
  47.  
  48. C.~Bennett and R.~Sharpley,\sl\ Interpolation of Operators,\rm\
  49. Academic Press 1988.\cr
  50. J.~Bergh and J. L\"ofstr\"om,\sl\ Interpolation Spaces,\rm\
  51. Springer-Verlag 1976.\cr
  52. R.A.~Hunt,\rm\ On $L(p,q)$\ spaces,\sl\ L'Enseignement Math.\ (2)
  53. {\bf 12} (1966), 249--275.\cr
  54.  
  55. Stephen
  56.  
  57.