home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17281 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-22  |  2.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!bnr.co.uk!uknet!comlab.ox.ac.uk!oxuniv!mingos
  2. From: mingos@vax.oxford.ac.uk
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: multiples of 9 - THANKS!!
  5. Message-ID: <1992Dec21.091422.10928@vax.oxford.ac.uk>
  6. Date: 21 Dec 92 09:14:22 GMT
  7. References: <1992Dec19.175256.10919@vax.oxford.ac.uk>
  8. Organization: Oxford University VAX 6620
  9. Lines: 60
  10.  
  11. In article <1992Dec19.175256.10919@vax.oxford.ac.uk>, mingos@vax.oxford.ac.uk writes:
  12. > 
  13. > Thanks to all of you who responded to my query about multiples of 9!!
  14. >  I started to thank people individually, but in the end it became a toss up
  15. > between thanking everyone, and writing my christmas cards...!
  16. > 
  17. >  I've now got more proofs than I expected, many different, but all on the same
  18. > basic approach.
  19. >   The solution was along the lines that I'd gone, and ended up as easier to
  20. > prove than I expected.  However, I didn't manage to get a proof myself, which
  21. > is why I'm a chemist, and you guys are mathematicians.  
  22. > 
  23. >   Thanks to everyone who responded, I really appreciate your time and effort
  24. > 
  25. >                 Cheers,
  26. > 
  27. >                     Gavin
  28. > 
  29.  
  30.  
  31.   Okay, I forgot to send in the proof.  A couple of people have since mailed me
  32. to ask for it, so here goes as far as I get it.
  33.  
  34.   *    Suppose you have a number a_n a_n-1 a_n-2...a_0, which is a multiple 
  35.   *    of 9, where a_n is the value of the nth power of ten.   
  36.   *    In that case, the number can be written as
  37.   *     
  38.   *       a_n(10^n) + a_n-1(10^n-1) +....+ a_0                       *1
  39.   *
  40.   *    The sum that we are interested in is 
  41.   *
  42.   *       a_n + a_n-1 + a_n-2 + ........a_0                          *2
  43.   *
  44.   *    subtracting *2 from *1, we get
  45.   *
  46.   *      a_n(10^n -1) + a_n-2(10^(n-1) - 1) + ....a_0(1 - 1)         *3
  47.   *
  48.   *    on the RHS of this equation, each coefficient of a_n must equal
  49.   *    a multiple of 9  since 10^n - 1 = 9, 99, 999, 9999, etc, depending on
  50.   *    the value of n.
  51.   *
  52.   *       therefore,   *2 - *1  = *3, and since *1 is divisible by 9 by
  53.   *    definition, and *3 is divisible by 9 as shown, then *2 must also be
  54.   *    divisible by 9.
  55.   *       ie the sum of the individual digits in a number divisible by 9 is 
  56.   *    also divisible by 9.
  57.   *  
  58.   *       The number *2 must be smaller than *1, and so if the process is
  59.   *    repeated on *2, we get a smaller number still, which is also divisible
  60.   *    by 9.  The process must therefore converge on the smallest non-zero
  61.   *    number divisible by 9, ie 9 itself.
  62.  
  63.  The above process can obviously be modified to be applicable to any number
  64. n in base n+1. 
  65.  
  66.  
  67.                         Gavin
  68.  
  69.  
  70.      
  71.