home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19421 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-22  |  2.8 KB  |  71 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!psinntp!scylla!daryl
  3. From: daryl@oracorp.com (Daryl McCullough)
  4. Subject: Re: TIME HAS INERTIA.   Att:  PRATT  FUND. THM. OF ALGEBRA 
  5. Message-ID: <1992Nov22.214312.13337@oracorp.com>
  6. Organization: ORA Corporation
  7. Date: Sun, 22 Nov 1992 21:43:12 GMT
  8. Lines: 61
  9.  
  10. Abian writes:
  11. >(3)   1/(kz^n + ...+ bz + a)  =  (1/k) z^(-n) + ........
  12. > 
  13. >But (3) shows that  0  is an essential isolated singularity of 
  14. >                    1/(kz^n + ...+ bz + a)
  15. >contradicting (2).  Hence our assumption is false and the Theorem is
  16. >proved.
  17.  
  18. Vaughan Pratt writes:
  19.  
  20. >The gist of Abian's proof is that expansion (3) indicates a singularity
  21. >where, as both you and Abian point out, there can't be one.
  22. >
  23. >I was hoping someone would pronounce on the validity of (3), and if it
  24. >is valid, whether proving it requires essentially the full force of the
  25. >FTA.  If (3) is not valid then Abian owes $500 to anyone taking him up
  26. >on his bet.  If (3) is valid but proving it is as much work as proving
  27. >the FTA, then Abian would technically win his bet, but his proof would
  28. >be about as sound as proving the FTA by assuming it (so a bush lawyer
  29. >might try to collect anyway :-).
  30.  
  31. The validity of (3) is trivial to prove: multiply top and bottom of
  32. 1/(kz^n + ...+ bz + a) by (1/z)^n to get:
  33.  
  34. (1/z)^n/(k + ... + b (1/z)^{n-1} + a (1/z)^n)
  35.  
  36. Changing variables to let w = 1/z gives
  37.  
  38. w^n/(k + ... + b w^{n-1} + a w^n)
  39.  
  40. which is an analytic function of w, provided that the denominator is not
  41. zero, which it never is (by assumption). An analytic function can always
  42. be expanded into a power series that converges inside a radius r, where
  43. r is the largest number such that there is no singularity of the function
  44. inside r. Since the function above is total, the radius of convergence
  45. is infinite, so the above function is expandable into a power series in
  46. w which converges everywhere.
  47.  
  48.    k w^n + ...
  49.  
  50. Going back to z = 1/w gives us (3) above.
  51.  
  52. What I think is the tricky part of Abian's proof is the assumption
  53. that just because a function has an essential singularity at z = 0,
  54. then it can't be well-defined in the limit z -> 0. Just because the
  55. expansion of 1/(kz^n + ...+ bz + a) has an infinite number of negative
  56. powers of z, why does it follow that the limit of the function as
  57. z -> 0 cannot be 1/a?
  58.  
  59. It actually is true that if a function f(z) has an expansion with an
  60. infinite number of negative powers of z that is valid near z = 0, then
  61. the limit of f(z) as z -> 0 is undefined (it doesn't have a value
  62. which is independent of the way the limit is taken). However, the
  63. proof of this fact may very well require something as powerful as the
  64. Fundamental Theorem of Algebra. Professor Abian, could you tell us a
  65. simple proof that a power series with an infinite number of negative
  66. powers of z cannot have a limit as z -> 0?
  67.  
  68. Daryl McCullough
  69. ORA Corp.
  70. Ithaca, NY
  71.