home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19257 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-19  |  2.0 KB  |  37 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: Lowenheim-Skolem theorem (was: Continuos vs. discrete models)
  5. Message-ID: <1992Nov19.212702.26008@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <COLUMBUS.92Nov19105153@strident.think.com> <1992Nov19.172844.17787@ulrik.uio.no> <COLUMBUS.92Nov19151402@strident.think.com>
  9. Date: Thu, 19 Nov 1992 21:27:02 GMT
  10. Lines: 25
  11.  
  12. In article <COLUMBUS.92Nov19151402@strident.think.com> columbus@strident.think.com (Michael Weiss) writes:
  13. >Quite true: the simplest "upward" L-S theorem asserts that if a theory with
  14. >a countable language has an infinite model, then it has models of arbitrary
  15. >cardinality kappa.  This is easy to see from the completeness theorem: just
  16. >add kappa constants to the language, and axioms stating that they are all
  17. >distinct; you can easily show from the hypothesis that this extended theory
  18. >is consistent, so it has a model.
  19.  
  20. In its proper generality: For any theory T, either there exists an
  21. integer such that all models of T are of cardinality less than that
  22. integer, or T has models of all infinite cardinalities greater than or
  23. equal to the cardinality of its language.
  24.  
  25. Just so that people don't think first order logic is a total wimp, it
  26. should be pointed out that a first order theory *can* pin down
  27. everything about an infinite model *except* its cardinality.  One says
  28. that T is *categorical* in power b, or b-categorical, when all models
  29. of T of cardinality b are isomorphic.  A theory may or may not be
  30. categorical in power aleph_0, and independently may or may not be
  31. categorical in a given uncountable power.  But if it is categorical in
  32. some uncountable power then it is categorical in all uncountable powers
  33. (Morley's theorem).  Hence only four kinds of theories are possible.
  34. All four can happen.
  35. -- 
  36. Vaughan Pratt              A fallacy is worth a thousand steps.
  37.