home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 18926 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-15  |  2.5 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18926 sci.math:15008
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!ornl!rsg1.er.usgs.gov!darwin.sura.net!udel!sbcs.sunysb.edu!libws3.ic.sunysb.edu!rscott
  4. From: rscott@libws3.ic.sunysb.edu (Robert Scott)
  5. Subject: Re: Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  6. Message-ID: <1992Nov15.230139.24943@sbcs.sunysb.edu>
  7. Sender: usenet@sbcs.sunysb.edu (Usenet poster)
  8. Nntp-Posting-Host: libws3.ic.sunysb.edu
  9. Organization: State University of New York at Stony Brook
  10. References: <1992Nov11.062853.22717@galois.mit.edu> <1992Nov12.172748.16273@kakwa.ucs.ualberta.ca> <1992Nov13.213840.10075@galois.mit.edu>
  11. Date: Sun, 15 Nov 1992 23:01:39 GMT
  12. Lines: 38
  13.  
  14. In article <1992Nov13.213840.10075@galois.mit.edu> jbaez@riesz.mit.edu
  15. (John C. Baez) writes:
  16. >In article <1992Nov12.172748.16273@kakwa.ucs.ualberta.ca>
  17. >anderson@fermi.phys.ualberta.ca (Warren G. Anderson) writes:
  18. >>In article <1992Nov11.062853.22717@galois.mit.edu> jbaez@riesz.mit.edu
  19. >>(John C. Baez) writes:
  20. >>> 2) The covariant derivative only requires a tangent vector at one point
  21. >>> of the manifold.  The price you pay is this: to define it you need to
  22. >>> choose a connection on the (tangent bundle of) the manifold.  Of course,
  23. >>> such a connection - the Levi-Civita connection - comes for free if your
  24. >>> manifold has a Riemann metric on it.  
  25. >>
  26. >>Or even a pseudo-Riemannian metric. In fact, wouldn't any way of identifying 
  27. >>the tangent space with it's dual be enough?
  28. >
  29. >Agreed, pseudo-Riemannian is fine and of course that's what you have in GR.
  30. >As for other cases, I'm suspicious.  Take a look at the proof of the
  31. >existence and uniqueness of the Levi-Civita connection and see what
  32. >happens if your metric is replaced by a nondegenerate *skew-symmetric*
  33. >bilinear form on the tangent bundle.  I'm afraid something will go
  34. >wrong.  Why?  If nothing did, every symplectic maniold would be blessed
  35. >with a natural connection analogous to the Levi-Civita connection.  If
  36. >such a thing existed I should have heard about it, but I haven't.  Of
  37. >course, it's possible that I am missing out on this crucial facet of
  38. >symplectic geometry!!
  39. >
  40. >Perhaps the symplectic geometers and fans of gravity theories with
  41. >asymmetric metric tensors can straighten this out in a jiffy.
  42.  
  43.  
  44. ISN'T IT EASY TO SHOW THAT THE LIE ALGEBRA OF SYMMETRIES OF AN
  45. AFFINE CONNECTION ON A CONNECTED FINITE-DIMENSIONAL MANIFOLD IS
  46. FINITE-DIMENSIONAL?  THUS THE LIE ALGEBRA OF INFINITESIMAL
  47. SYMPLECTOMORPHISMS OF A SYMPLECTIC MANIFOLD IS FAR TOO BIG TO
  48. PRESERVE AN AFFINE CONNECTION.
  49.  
  50.  
  51. -JAMES DOLAN
  52.