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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / research / 567 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-24  |  2.0 KB  |  48 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  3. From: Allan Adler <ara@zurich.ai.mit.edu>
  4. Subject: Index theory?
  5. Message-ID: <ARA.92Nov23113733@camelot.ai.mit.edu>
  6. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  7. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  8. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  9. Organization: M.I.T. Artificial Intelligence Lab.
  10. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  11. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  12. Date: Mon, 23 Nov 1992 16:37:33 GMT
  13. Lines: 33
  14.  
  15.  
  16.  
  17. Let k be a field and M a graded vector space over k. Asssume that each
  18. homogeneous part of M is finite dimensional over k. If T is an operator
  19. on the M preserving degrees, then we can define the "trace" of T on M
  20. as a formal power series in an indeterminate u whose coefficient of degree
  21. n is the trace of the operator T acting on the degree n part of M.
  22.  
  23. Now let f be a homogeneous polynomial of degree q+1 in r variables x_1,...,x_r,
  24. q>2, with coefficients in k and form the Koszul complex of f (or its dual),
  25. i.e. the complex of differential forms  with polynomial coefficients
  26. and where the differential is wedging with the total differential of f.
  27.  
  28. For each i, let a_i be a nonzero element of k and suppose that the substitution
  29. T: x_i |--> a_i x_i  preserves the homogeneous polynomial f. Then T acts on
  30. the terms of the Koszul complex and I will continue to refer to these
  31. actions by T, as well as the action on the cohomology.
  32.  
  33. It is alleged that the "trace" of T on the cohomology is
  34. the product over i of (u^q-a_i)/(u^{-1}-a_i)  in case f is nonsingular.
  35.  
  36. Can someone supply a proof? Presumably this is done by computing the "traces"
  37. on the Koszul complex itself. 
  38.  
  39. I would also be intersted in knowing of places in the literature where
  40. these kinds of computations are done (including these "traces")
  41. so I can read about it. For example, I am under the impression that
  42. they arise in certain approaches to index theory, but I don't know where.
  43.  
  44. Ignorantly,
  45. Allan Adler
  46. ara@altdorf.ai.mit.edu
  47.  
  48.