home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15376 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-22  |  3.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!elroy.jpl.nasa.gov!swrinde!network.ucsd.edu!galaxy!guitar!baez
  2. From: baez@guitar.ucr.edu (john baez)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Approximation and Estimation (HELP!!)
  5. Message-ID: <24069@galaxy.ucr.edu>
  6. Date: 22 Nov 92 22:34:03 GMT
  7. Sender: news@galaxy.ucr.edu
  8. Organization: University of California, Riverside
  9. Lines: 60
  10. Nntp-Posting-Host: guitar.ucr.edu
  11.  
  12. In article <1ejbebINNber@roundup.crhc.uiuc.edu> hougen@focus.csl.uiuc.edu (Darrell Roy Hougen) writes:
  13. >I need to estimate a 'hill' function between -pi/2 and pi/2.  It must
  14. >be 0 at -pi/2 and pi/2 and it must be 1 at 0.  It must increase
  15. >monotonically from 0 to 1 on [-pi/2,0] and decrease monotonically from
  16. >1 to 0 on [0,pi/2].  It must be smooth, ie., differentiable everywhere
  17. >in (-pi/2,pi/2), and have a derivative of 0 at 0.
  18. >
  19. >My first question is, does there exist a basis for functions of the
  20. >above form?
  21.  
  22. Sure, infinitely many.  It's best to say what *kind* of functions  In
  23. other words, smooth, continuous, or L^2 functions.  But in any of the case
  24. I just mentioned, there is a countable basis.
  25.  
  26. >One possible basis that I've been thinking about is (cos(x))^k with k
  27. >ranging from -inf to +inf.  All the members of this set satisfy the
  28. >conditions given above and it appears that any weighted sum of such
  29. >functions will also although it would be nice to prove that.
  30.  
  31. Nope, it's not true, because all the functions you listed are "even"
  32. (satisfy f(x) = f(-x)), so you can't approximate anything but even 
  33. functions.    Also for k negative the functions you list are unbounded,
  34. which is technically a pain in the butt.  
  35.  
  36. The best basis to use is  sin(2kx) and cos(2kx), taken together.  
  37. This basis is used in the Fourier transform and is well-known to
  38. be a complete basis.  I recommend this basis because a huge amount
  39. is known about it and there is a huge amount of software written to
  40. deal with it.
  41.  
  42. >My second question is, if I have a potential basis, how can I prove
  43. >that it is a complete basis?  In other words, how can I prove that any
  44. >f of the above form can be approximated arbitrarily well by a sum of
  45. >functions in the basis set?
  46.  
  47. There are lots of ways.  For L^2 functions 
  48. it is sufficient for the functions to "separate
  49. points and span an algebra" to be a basis, IF they are linearly 
  50. independent.  I can explain these terms if it matters - they are 
  51. properties that hold for the basis I suggested, but the "separates
  52. points" property doesn't hold for the basis you suggested.
  53.    
  54. >My third question is, can the results be extended to two or three
  55. >dimensions?  More specifically, assume that the function I am trying
  56. >to estimate, f(x,y,z), satisfies the above conditions in all three
  57. >dimensions.  If necessary, assume additional smoothness conditions.
  58. >The same goes for the 1-D case above.
  59. >
  60. >In this case, I would like to use seperable functions as a basis.  For
  61. >example, let g_ijk(x,y,z) = (cos(x))^i(cos(y))^j(cos(z))^k.  Is this a
  62. >basis?  Why or why not?
  63.  
  64. If you have a basis f_i(x) of the smooth/continuous/L^2 functions
  65. on the interal (take your pick!), then one can form a basis 
  66. f_i(x)f_j(y)f_k(z) for the same class of functions on the cube.
  67.  
  68. Again, these are 3 theorems in analysis that I could prove for you,
  69. but I am too lazy right now.  It takes a fair understanding of
  70. functional analysis to follow the proofs.
  71.  
  72.