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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15329 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-20  |  1.4 KB  |  41 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!brunix!brunix!dzk
  3. From: dzk@cs.brown.edu (Danny Keren)
  4. Subject: Re: compactness ?
  5. Message-ID: <1992Nov21.013605.22842@cs.brown.edu>
  6. Sender: news@cs.brown.edu
  7. Organization: Brown University Department of Computer Science
  8. References: <1992Nov20.211648.3583@research.nj.nec.com>
  9. Date: Sat, 21 Nov 1992 01:36:05 GMT
  10. Lines: 29
  11.  
  12. franz@ccrl.nj.nec.com (test user for max) writes:
  13.  
  14. #? It seems to me that (0,1) is contained in the collection of
  15. #open sets { (0,0.6) (0.5,1) (0,1) } and this has finite subsets that 
  16. #contain (0,1), so (0,1) should be compact.  Does the definition mean that
  17. #S must be contained in any possible collection, as opposed
  18. #to just one possible collection being sufficient?  
  19.  
  20. Yep - *every* open cover must have a finite sub-cover (by "open cover"
  21. I mean a collection of open sets that contain the space).
  22.  
  23. #If so, then 
  24. #I would intuitively think that a (1/n,..) type construction
  25. #would prevent any open set from being compact.  
  26.  
  27. Not true for any topological space, but true for some classes - for
  28. instance, in Euclidean space a subset is compact iff it is bounded
  29. and closed.
  30.  
  31. #Any insight on understanding the definition (and its relevance)
  32. #would be appreciated.  
  33.  
  34. Compact spaces have many nice properties. For instance, every
  35. real valued function on them is bounded (one of the simplest
  36. properties). That is the reason they were studied so extensively.
  37.  
  38. -Danny Keren.
  39.  
  40.  
  41.