home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15319 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-20  |  2.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!usc!zaphod.mps.ohio-state.edu!saimiri.primate.wisc.edu!caen!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!unixg.ubc.ca!israel
  2. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: 1+1/2+1/3+...+1/n > x (SOLUTION)
  5. Date: 20 Nov 92 22:39:36 GMT
  6. Organization: The University of British Columbia
  7. Lines: 55
  8. Message-ID: <israel.722299176@unixg.ubc.ca>
  9. References: <1992Nov20.101643.17628@husc15.harvard.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  11.  
  12. In <1992Nov20.101643.17628@husc15.harvard.edu> blom@husc15.harvard.edu writes:
  13.  
  14. >              n   1                            1    inf  BERNOULLI (k) 
  15. >             SUM --- = LN (n) + euler_gamma + --- - SUM ---------------
  16. >             k=1  k                           2 n   k=2           k
  17. >                                                             k (n)
  18.  
  19.  
  20.  
  21. >By expanding the above sequence, we can find the sum of the first n
  22. >reciprocals quickly and easily.  My computer gives anomalous results
  23. >for n in the range in which the sum > 100, but maybe someone else could
  24. >use this formula to verify the exact value for which we are looking.
  25. >The greatest integer less than
  26.  
  27. >              100 - euler_gamma
  28. >             e
  29.  
  30. >is a good estimate, but it might be a little off.
  31.  
  32. Actually, you don't need to be quite so sophisticated.
  33.  
  34. The answer is N=15092688622113788323693563264538101449859497 which is the
  35. integer part of exp(100 - gamma).
  36.  
  37. Let h_N = sum_{n=1}^N 1/n.
  38. Note that h_N_ - ln(N+1) = sum_{n=1}^N (1/n - ln((n+1)/n)).
  39. The limit as N -> infinity is Euler's constant gamma.  So 
  40.   h_N - ln(N+1) - gamma = - sum_{n=N+1}^infinity (1/n - ln((n+1)/n)).
  41. We can expand f(t) = 1/t - ln((t+1)/t) = 1/(2 t^2) - 1/(3 t^3) + ...,
  42. an alternating series (for t > 1).  So 1/(2 t^2) - 1/(3 t^3) < f(t) < 1/(2 t^2),
  43. and  h_N - ln(N+1) - gamma < - int_N^infinity (1/(2 t^2)) dt = - 1/(2 N)
  44. while h_N - ln(N+1) - gamma > - int_(N+1)^infinity (1/(2 t^2) - 1/(3 t^3) dt
  45.                                   = - 1/(2(N+1)) + 1/(6(N+1)^2).
  46. So, if u(N) = ln(N+1) + gamma - 1/(2N) 
  47. and    v(N) = ln(N+1) + gamma - 1/(2(N+1)) + 1/(6(N+1)^2)
  48. we want u(N-1) < 100 (to ensure h_(N-1) < 100) and v(N) > 100
  49. (to ensure h_N > 100).  Since the difference between u(N) and v(N) is
  50. of order 1/N^2, we have an excellent chance that this will be true for
  51. some N.
  52.  
  53. Now, I checked using both Maple and Mathematica:
  54.  
  55. exp(100 - gamma) = 15092688622113788323693563264538101449859497.30...
  56. Taking N as the integer part of this,
  57. u(N-1) = 99.999999999999999999999999999999999999999999942747
  58. v(N) =  100.00000000000000000000000000000000000000000000900
  59.  
  60.  
  61.  
  62. -- 
  63. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  64. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  65. University of British Columbia
  66. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  67.