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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15316 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-20  |  1.5 KB  |  34 lines
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!jvnc.net!nj.nec.com!franz
  2. From: franz@ccrl.nj.nec.com (test user for max)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: compactness ?
  5. Message-ID: <1992Nov20.211648.3583@research.nj.nec.com>
  6. Date: 20 Nov 92 21:16:48 GMT
  7. Sender: news@research.nj.nec.com
  8. Organization: C&C Research Labs, NEC USA, Princeton, N.J.
  9. Lines: 23
  10.  
  11. I am trying to teach myself analysis; i'm stuck on the notion of compactness.
  12. One book's definition:
  13.   A subset S of a metric space E is compact if whenever S is
  14.   contained in the union of a collection of open subsets of E,
  15.   then S is contained in the union of a finite number of these
  16.   open subsets.
  17.  
  18. The book (M.Rosenlicht,Intro.to Analysis) then gives an example of
  19. a non-compact set- the open interval (0,1), which is contained in the 
  20. union of sets (1/n,1) but not contained in any finite number of these.
  21.  
  22. ? It seems to me that (0,1) is contained in the collection of
  23. open sets { (0,0.6) (0.5,1) (0,1) } and this has finite subsets that 
  24. contain (0,1), so (0,1) should be compact.  Does the definition mean that
  25. S must be contained in any possible collection, as opposed
  26. to just one possible collection being sufficient?  If so, then 
  27. I would intuitively think that a (1/n,..) type construction
  28. would prevent any open set from being compact.  
  29. Is a 'collection of sets' a stricter notion than I'm assuming?
  30. (Is 'contained in' the same as 'covered by'?)
  31.  
  32. Any insight on understanding the definition (and its relevance)
  33. would be appreciated.  
  34.