home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15302 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-20  |  2.3 KB
  1. Xref: sparky sci.math:15302 sci.math.stat:2395
  2. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!wupost!cs.uiuc.edu!roundup.crhc.uiuc.edu!focus!hougen
  3. From: hougen@focus.csl.uiuc.edu (Darrell Roy Hougen)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.math.stat
  5. Subject: Approximation and Estimation (HELP!!)
  6. Date: 20 Nov 1992 18:40:11 GMT
  7. Organization: Center for Reliable and High-Performance Computing, University of Illinois at Urbana-Champaign
  8. Lines: 41
  9. Message-ID: <1ejbebINNber@roundup.crhc.uiuc.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: focus.csl.uiuc.edu
  11. Summary: estimation
  12. Keywords: approximation
  13.  
  14. I need to estimate a 'hill' function between -pi/2 and pi/2.  It must
  15. be 0 at -pi/2 and pi/2 and it must be 1 at 0.  It must increase
  16. monotonically from 0 to 1 on [-pi/2,0] and decrease monotonically from
  17. 1 to 0 on [0,pi/2].  It must be smooth, ie., differentiable everywhere
  18. in (-pi/2,pi/2), and have a derivative of 0 at 0.
  19.  
  20. My first question is, does there exist a basis for functions of the
  21. above form?  In other words, I would like a set of functions {...,
  22. g_k, ...} such that the unknown function f can be approximated
  23. arbitrarily well by a weighted sum of functions from the above set.
  24. In symbols, let f(x) = sum_j a_j g_i_j(x), where i_j are members of an
  25. index set I.
  26.  
  27. One possible basis that I've been thinking about is (cos(x))^k with k
  28. ranging from -inf to +inf.  All the members of this set satisfy the
  29. conditions given above and it appears that any weighted sum of such
  30. functions will also although it would be nice to prove that.
  31.  
  32. My second question is, if I have a potential basis, how can I prove
  33. that it is a complete basis?  In other words, how can I prove that any
  34. f of the above form can be approximated arbitrarily well by a sum of
  35. functions in the basis set?
  36.  
  37. My third question is, can the results be extended to two or three
  38. dimensions?  More specifically, assume that the function I am trying
  39. to estimate, f(x,y,z), satisfies the above conditions in all three
  40. dimensions.  If necessary, assume additional smoothness conditions.
  41. The same goes for the 1-D case above.
  42.  
  43. In this case, I would like to use seperable functions as a basis.  For
  44. example, let g_ijk(x,y,z) = (cos(x))^i(cos(y))^j(cos(z))^k.  Is this a
  45. basis?  Why or why not?
  46.  
  47. If you know anything about any part of this question, I would like to
  48. hear from you.  I will post the responses if they are sufficiently
  49. interesting. 
  50.  
  51. Thanks in advance.
  52.  
  53. Darrell R. Hougen
  54.  
  55.