home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15268 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-19  |  4.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!wupost!waikato.ac.nz!canterbury.ac.nz!math!jsv
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n
  4. Message-ID: <BxzMuB.6Gr@cantua.canterbury.ac.nz>
  5. From: jsv@math.canterbury.ac.nz (Julian Visch)
  6. Date: Fri, 20 Nov 1992 00:03:46 GMT
  7. References: <92324.132329K3032E2@ALIJKU11.BITNET> <HANCHE.92Nov19123151@ptolemy.ams.sunysb.edu>
  8. Organization: Department of Mathematics, University of Canterbury
  9. Nntp-Posting-Host: sss330.canterbury.ac.nz
  10. Lines: 61
  11.  
  12. In article <HANCHE.92Nov19123151@ptolemy.ams.sunysb.edu>, hanche@ams.sunysb.edu (Harald Hanche-Olsen) writes:
  13. |> >>>>> On Thursday, 19 Nov 1992 13:23:29 CET, Mutter Christoph Johannes
  14. |> >>>>> <K3032E2@ALIJKU11.BITNET> said:
  15. |> 
  16. |> Chris> Hallo.
  17. |> Chris> I've a problem. I have to calculate the sum 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n.
  18. |> Chris> The result should be 100. But my computer is far too slow, to solve this
  19. |> Chris> problem. I need the index n when the sum > 100.0
  20. |> Chris> And that exactly.
  21. |> Chris> Has anyone calculated this? (Perhaps on a CRAY|) ?
  22. |> 
  23. |> You won't find your answer by brute force on any present-day computer.
  24. |> Consider the fact that this sum is fairly close to log(n)+gamma for
  25. |> large n, where gamma is Euler's constant; it follows that the desired
  26. |> n is rather close to exp(100-gamma), which has the approximate value
  27. |> 15092688622113788323693563264538101449859497.364099... (according to
  28. |> Maple).  Some finesse (asymptotic analysis) is clearly called for to
  29. |> get the exact answer.  Hint: Estimate the area between the step
  30. |> function 1/[t] (where [t] is the largest integer <= t) and 1/t for t
  31. |> between n and infinity.
  32. |> 
  33. |> - Harald
  34.  
  35. Using Maple with 1000 decimal places I found that for
  36. n = 15092688622113788323693563264538101449859496 the sum was just below 100
  37.  
  38. i.e 
  39. > evalf(sum(1./n,n=1..15092688622113788323693563264538101449859496));
  40. 99.999999999999999999999999999999999999999999942747074071711130782941148738689\
  41. 110197701561042496005255810450666769067029302578130750912902932624408446045107\
  42. 869792495620899224319418245033025025182041993034298490182584171857999337302532\
  43. 300688073637257930075532467393740472811084063270156466843499470742536200190655\
  44. 917162237352085261170317735188104551661757782435748221008019753912713374271191\
  45. 245994582381205887879299026740996025832728915343973670530181721654188180444513\
  46. 866671269077935205401265297418980406002802771943272916252123760413277867268520\
  47. 425498261036541860051418778270807265148213766262785646305055826160117200136416\
  48. 808713860003120853843066723275631027241605891026022366052237104221394063066151\
  49. 733625632162542850742304726146277045601427472123573240266841661206726172029358\
  50. 724453487706763774112615731347877669277984229681395187863668103744366396464141\
  51. 100727348414962089305298508586435048307651285171855167950037159251939422672229\
  52. 76667807374084860658417534406817092726803488494861982494218688745
  53.  
  54. while for n = 15092688622113788323693563264538101449859497 the sum was just above
  55.  
  56. i.e 
  57.  
  58. > evalf(sum(1./n,n=1..15092688622113788323693563264538101449859497));
  59. 100.00000000000000000000000000000000000000000000900432120889789165585816073577\
  60. 751939961860129721706615382739050887641575408610184470055411778370615584870751\
  61. 680997954613077090825707297214593275638141168220303234871249026721287533644787\
  62. 097357219223720460156707881723358750375106238732796886967352576151981740578473\
  63. 154443538850098393109855711492559264156512012581065894522985030576856661670380\
  64. 492197666026527806563072034551189051406419969136807866826955384937185305480516\
  65. 267185059582831185433249645216295298417893230548338419330257569719612514260620\
  66. 553579091533904193838602944051540368095054244965838316856354047269852341672224\
  67. 205459789283269124232309456277027340683218367802976813905201876499321839890129\
  68. 646653916571531782513179351436863392002769576844850881159970997259946269145700\
  69. 283456130069508391884565985862432025625268231022831416269193315035632732401558\
  70. 707000407239207005124432307481794262410739446246664908789671874005330617916534\
  71. 62604840757764909792941256264546443643288565468699021237948437324
  72.  
  73.