home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15213 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-18  |  1.8 KB
  1. Xref: sparky sci.math:15213 comp.graphics:12072
  2. Newsgroups: sci.math,comp.graphics
  3. Path: sparky!uunet!utcsri!skule.ecf!torn!watserv2.uwaterloo.ca!watmath!watcgl!watpix.uwaterloo.ca!awpaeth
  4. From: awpaeth@watpix.uwaterloo.ca (Alan Wm Paeth)
  5. Subject: Re: dodecahedron in S3
  6. Message-ID: <Bxxq1s.MKw@watcgl.uwaterloo.ca>
  7. Sender: news@watcgl.uwaterloo.ca (USENET News System)
  8. Organization: University of Waterloo
  9. References: <1992Nov17.204258.5994@samba.oit.unc.edu>
  10. Date: Wed, 18 Nov 1992 23:17:51 GMT
  11. Lines: 29
  12.  
  13. In <1992Nov17.204258.5994@samba.oit.unc.edu> Jim.Buddenhagen@launchpad.unc.edu:
  14.  
  15. >Given a (regular pentagonal faced) dodecahedron of edge  e  living in
  16. >a 3-sphere of radius  r  , how does one compute the dihedral angle in
  17. >terms of s = e/r ?
  18.  
  19. The face dihedral of any regular pentagonal dodecahedron has a tangent of -2.
  20. Evaluating Pi + arctan(-2) gives -2.03444 or about 116.5 degrees. (Pi is added
  21. assuming an arctan returning a principle angle in the range (-pi/2 .. Pi/2)).
  22.  
  23. I've published a table of symbolic dihedrals sin(theta) and tan(theta) for the
  24. Platonic and quasi-regular Archemidean solids in _Graphics Gems II_ (Academic
  25. Press 1992, Ed: J. Arvo). A very compact table taking advantage of the
  26. versatile halfed-tangent (explored in a companion gem) gives:
  27.  
  28.        Regular solid    Dihedral tan(theta/2)
  29.     -------------    ---------------------
  30.     tetrahedron    sqrt(2)/2
  31.     hexahedron    1
  32.     octahedron    sqrt(2)                 ________
  33.     dodecahedron    phi  (or -1/phi)    | Note: the golden ratio
  34.     icosahedron    phi^2 = phi+1        | phi = 1/2 (sqrt(5) + 1)
  35.                                                 --------
  36. Space packing (possible when all dihedrals about a common edge sum to 2 Pi)
  37. is also touched upon, as are Kepler's ``snub'' solids.
  38.  
  39.     /Alan Paeth
  40.     Computer Graphics Laboratory
  41.     University of Waterloo
  42.